Sur la méthode des moyennes intégrales et les méthodes analogues dans la théorie des fonctions d'une variable complexe. (Q2602341)

\(f(z) = u (x, y) + iv (x, y)\) sei eine (nicht notwendig analytische) Funktion von \(z = x + iy\), die in einer zweidimensionalen Umgebung des Punktes \(z_0\) eindeutig definiert und \(L\)-integrierbar ist. \((\varrho, \varrho', \zeta)\) bedeute den Kreisring \(\varrho'\leqq|z - \zeta|\leqq\varrho\) mit dem Mittelpunkt \(\zeta\). Ein Punkt \(z_0\) wird von diesem Kreisring \textit{umschlossen}, wenn er innerhalb seiner inneren Kreislinie \(|z - \zeta| =\varrho'\) liegt. Verf. nennt die Funktion \(f(z)\) im Punkte \(z_0\) \textit{monogen ``im Mittel''}, wenn folgende Bedingungen erfüllt sind: (1) Für jede unendliche Folge von Kreisringen \(\mathfrak R_n\equiv (\varrho_n, \varrho_n', \zeta_n)\), die den Punkt \(z_0\) umschließen und für welche \(\varrho_n\) gegen null strebt, konvergiert \(\dfrac1{\omega_n}\int\limits_{\mathfrak R_n} \dfrac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}d\omega\) gegen einen endlichen Grenzwert \(\tilde f(z_0)\); das Doppelintegral ist dabei über den Kreisring \((\varrho_n,\varrho_n',\zeta_n)\) mit dem Flächeninhalt \(\omega_n\) erstreckt, und \(d\omega\) bedeutet das Flächenelement des Kreisringes; (2) es ist \[ \lim\frac1{\omega_n} \int\limits_{\mathfrak R_n} \left|\frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}-\tilde f(z_0)\right|d\omega=0. \] Verf. beweist einige Eigenschaften der stetigen Funktionen einer komplexen Veränderlichen, die ``im Mittel'' monogen sind, und gibt einige notwendige Bedingungen an für die Darstellung einer solchen Funktion durch ein ``\textit{Cauchy}sches Doppelintegral''.