Sur une extension d'un théorème de P. Boutroux-H. Cartan. (Q2602344)

Ein wichtiges Lemma von \textit{Boutroux} und \textit{Henri Cartan} (\textit{Cartan}, Ann. sci. Ecole norm. sup., (3) 45 (1928), 255-346; F. d. M. 54, 357 (JFM 54.0357.*)) lautet folgendermaßen: Es seien \(n\) beliebige Punkte \(P_i\) in der Ebene. Dann gilt bis auf eine Punktmenge \(E\), die sich mit Kreisen überdecken läßt, deren Radiensumme 2 \(eh\) (\(h > 0\) sonst beliebig) nicht übertrifft: \[ \prod_1^n|z-z_i|>h^n. \] Verf. überträgt dieses Lemma sinngemäß auf den Fall des Einheitskreises, indem er die gewöhnliche Entfernung durch die ``Pseudoentfernung'' \[ [z_1,z_2]=\left|\frac{z_1-z_2}{1-\bar z_1z_2}\right| \] ersetzt. Man erhält dann folgendes: Bis auf eine Menge \(E(h)\) gilt \[ \prod_1^n[z,z_i]>h^n. \] Über die Ausdehnung von \(E(h)\) erhält man eine analoge obere Schranke wie früher, doch muß man hier mit nichteuklidischen Überdeckungskreisen operieren. Zum Schluß kündigt Verf. einige funktionentheoretische Anwendungen an, welche mit der vorstehenden Fassung des \textit{Boutroux-Cartan}schen Lemmas in engem Zusammenhang stehen.