Über den Zusammenhang zweier Sätze der Funktionentheorie. (Q2602354)

Es sei \[ f(z) =\sum_{n=0}^\infty a_nz^n \] eine Potenzreihe vom Konvergenzradius \(r = 1\); ihre Abschnitte seien \[ f_n(z)=\sum_{k=0}^n a_kz^k\qquad (n = 0,1, 2,\ldots). \] Nach \textit{Jentzsch} ist jeder Randpunkt des Konvergenzkreises Häufungspunkt von Nullstellen der \(f_n(z)\). Nach \textit{Hurwitz} ist jede Nullstelle \(z_0\) von \(f(z)\) mit \(|z_0|<1\) auch Häufungspunkt der Nullstellen der \(f_n(z)\). Rückt nun eine Nullstelle \(z_0\) von \(f(z)\) auf den Rand des Konvergenzkreises, so scheint sich der Unterschied zwischen den beiden Sätzen zu verwischen. Die besondere Rolle, die die Nullstellen auf \(|z|=1\) spielen, tritt jedoch in Erscheinung, wenn an eine Verschärfung des \textit{Hurwitz}schen Satzes angeknüpft wird, die besagt, daß in jeder hinreichend kleinen Umgebung einer \(k\)-fachen Nullstelle \(z_0\) von \(f(z)\) mit \(|z_0|<1\) für genügend große \(n\) genau \(k\) Nullstellen von \(f_n(z)\) liegen. Verf. zeigt, daß dieser Satz zwar nicht mehr voll gültig bleibt, wenn \(z_0\) auf \(|z|=1\) rückt, daß aber noch gilt: Ist \(f(z)\) in \(z=1\) regulär und ist \(z=1\) eine \(k\)-fache Nullstelle von \(f(z)\), so liegen in jeder Umgebung von \(z=1\) für genügend große \(n\) \textit{mindestens} \(k\) Nullstellen von \(f_n(z)\). Weiter wird gezeigt: Gilt \(a_n\to 0\) und ist \(f(z)\) in \(z=1\) regulär, enthält ferner der Durchschnitt jeder Umgebung von \(z=1\) mit \(|z|\leqq1\) Nullstellen der \(f_n(z)\), so ist \(f(1) = 0\).