Théorème général fournissant l'argument des points singuliers situés sur le cercle de convergence d'une série de Taylor. (Q2602356)

Verf. beweist einen überraschend einfachen Satz über die Lage der Singularitäten einer Potenzreihe auf dem Rande des Konvergenzkreises. Geht man von einer im Äußern des Einheitskreises konvergenten Reihe \(g(z)=\sum \dfrac{a_\nu}{z^\nu}\) aus und entwickelt \(g(z)\) nach Potenzen von \(z+h\) mit dem Konvergenzradius \(R(h)\), so ist, falls etwa die dem Punkte \(+1\) nächstliegende Singularität \(e^{i\varphi}\) auf \(|z|=1\) isoliert ist, bei hinreichend kleinem \(h\) diese offenbar einer der beiden Schnittpunkte der beiden Kreise \(|z| = 1\) und \(|z+h| = R (h)\). Im allgemeinen Fall existiert \[ \lim_{h\to+0}\frac{R(h)-1}h= \operatornamewithlimits{\text{\(R^\prime\)}}\limits^+(0) \qquad \text{mit}\qquad |\operatornamewithlimits{\text{\(R^\prime\)}}\limits^+(0)|\leqq 1, \] und es ist \(\operatornamewithlimits{\text{}R^\prime}\)