On the convergence of series of polynomials. (Q2602366)

\textit{J. M. Whittaker} (Interpolatory function theory, 1935; F. d. M. \(61_{\text I}\), 331) hat allgemein Reihen der Form \[ A_0p_0(z)+A_1p_1(z)+\cdots+A_nP_n(z)+\cdots \tag{1} \] untersucht, bei denen \(p_0(z)\), \(p_1(z),\ldots\), \(p_n(z),\ldots\) gegebene Polynome bedeuten, die eine ``Basismenge'' bilden, d. h. so beschaffen sind, daß sich jedes beliebige Polynom auf genau eine Weise als lineare Kombination endlich vieler Polynome der Menge ausdrücken läßt. Drücken sich dabei die Potenzen \(1, z, z^2,\ldots\) aus vermöge \[ z^n=\pi_{n0}p_0(z)+\pi_{n1}p_1(z)+\cdots|, \tag{2} \] so ordnet er jeder in der Umgebung von \(z=0\) regulären Funktion \(f(z)\) die Reihe (1) mit \[ A_n=\pi_{0n}f(0)+\frac1{1!}\pi_{1n}f'(0)+\frac1{2!}\pi_{2n}f''(0)+\cdots \tag{3} \] als ``Basisreihe'' zu; die Frage ist, unter welchen Bedingungen diese Reihe \(f(z)\) darstellt. Während diese Frage für spezielle Basismengen (Potenzen, \textit{Legendre}sche Polynome usw.) unter Ausnutzung der besonderen Eigenschaften der Polynome der Menge eingehend untersucht ist, sind noch wenige Aussagen bekannt, die sich auf umfassendere Klassen von Basismengen beziehen (vgl. \textit{J. M. Whittaker} a. a. O.). Verf. zeigt dazu in der vorliegenden Note: Ist \(p_o(z),p_1(z),\ldots\) eine Basismenge von Polynomen, bei der die Anzahl \(N_n\) der nichtverschwindenden Koeffizienten \(\pi_{n\nu}\) in (2) die Beziehung \[ N_n^{1/n}\to 1 \;\text{für} \;n\to\infty \tag{4} \] erfüllt, so ist eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß jede in \(z=0\) reguläre Funktion \(f(z)\) durch ihre Basisreihe (1) (mit der Koeffizientenbestimmung (3)) in ihrem Regularitätskreis um \(z=0\) (gleichmäßig in jedem inneren Teilbereich) dargestellt wird: \[ \left\{\sum_{\nu=0}^\infty|\pi_{n\nu}|\max_{|z|=R}|p_\nu(z)|\right\}^{1/n}\to R \quad \text{mit} \quad n\to\infty \quad \text{für jedes} \;R\geqq 0. \tag{5} \] Ist (4) nicht erfüllt, so tritt an Stelle von (5) eine kompliziertere Bedingung. Weiter werden noch die folgenden Sätze über ``einfache Basismengen'', d.h. Basismengen, bei denen \(p_n\)(z) genau den Grad \(n\) hat, bewiesen: (1) Ist eine einfache Basismenge so beschaffen, daß für ein \(\varrho>0\) jede in \(|z|\leqq\varrho\) reguläre Funktion \(f(z)\) daselbst gleichmäßig durch die zugehörige Basisreihe dargestellt wird, dann wird jede solche Funktion durch die Basisreihe in ihrem vollen Regularitätskreis um \(z=0\) (gleichmäßig in jedem inneren Teilbereich) dargestellt. (2) Ist eine einfache Basismenge so beschaffen, daß für ein \(\lambda>0\) jede in \(z=0\) reguläre Funktion \(f(z)\), deren Regularitätsradius bezüglich \(z=0\) kleiner als \(\lambda\) ist, durch die zugehörige Basisreihe in ihrem Regularitätskreis um \(z=0\) (gleichmäßig in jedem inneren Teilbereich) dargestellt wird, so gilt dasselbe für jede in \(z=0\) reguläre Funktion \(f(z)\). Diese beiden Sätze gelten allgemeiner für Basismengen, bei denen der Grad \(D_n\) des Polynoms höchsten Grads in der Darstellung (2) von \(z^n\) die Beziehung \(D_n/n \to1\) für \(n\to\infty\) erfüllt.