Polynomial expansion in the Borel region. (Q2602377)

Ist \(h_1, h_2,\ldots\) eine Folge positiver Zahlen, so liefert wiederholte Anwendung der Identität \[ \frac1{t-z}=\frac1{(1+h_k)t}+\frac{z+h_kt}{(1+h_k)t}\cdot\frac1{t-z} \] den Ausdruck: \[ \begin{multlined} \frac1{t-z}=\frac1{(1+h_1)t}+\frac{z+h_1t}{(1+h_1)(1+h_2)t^2}+ \frac{(z+h_1t)(z+h_2t)}{(1+h_1)(1+h_2)(1+h_3)t^3}\\ +\cdots+\frac{(z+h_1t)\cdots(z+h_{m-1}t)}{(1+h_1)\cdots(1+h_m)t^m}+ \frac{(z+h_1t)\cdots(z+h_{m}t)}{(1+h_1)\cdots(1+h_m)t^m}\cdot \frac1{t-z}. \end{multlined} \] Ist nun \(\varGamma\) eine den Nullpunkt umschließende, rektifizierbare, geschlossene Kurve und \(f(z)\) eine in \(\overline{I(\varGamma)}\) reguläre, analytische Funktion, so erhält man durch Einsetzen der obigen Identität in das \textit{Cauchy}sche Integral und gliedweise Integration \[ f(z)=P_0(z)+P_1(z)+\cdots+P_{m-1}(z)+R_m(z), \] wobei \[ P_n(z)=\frac1{2\pi i}\int\limits_\varGamma \frac{(z+h_1t)\cdots(z+h_nt)}{(1+h_1)\cdots(1+h_{n+1})} \frac{f(t)}{t^{n+1}}dt \] ersichtlich ein Polynom in \(z\) von höchstens \(n\)-tem Grade ist. Die so entstehende Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty P_n(z)\) konvergiert absolut und gleichmäßig zur Summe \(f(z)\) in jedem Teilbereich des zum Nullpunkt gehörenden \textit{Borel}schen Sterns von \(f(z)\), falls für \(k\to\infty\) auch \(h_k\to\infty\) und \(\sum\dfrac1{h_k}\) divergiert. Ist \(\sum\dfrac1{h_k}\) konvergent, so konvergiert \(\sum\limits_{n=0}^\infty P_n(z)\) absolut und gleichmäßig in jedem endlichen Teilbereich der vollen Ebene, stellt aber nicht \(f(z)\) dar, es sei denn \(f(z)\equiv 0\). Man vergleiche hierzu auch die nachstehend besprochene Arbeit.