On the extensions of Borel's theorem and Saxer-Csillag's theorem. (Q2602411)

Verf. beweist den folgenden Satz: Seien \(f(z)\) eine ganze Funktion von der Ordnung \(\varrho\) und \(a_i(z)\) (\(i = 0, 1,\ldots, n\)) ganze Funktionen von der Ordnung \(< \varrho\). Der Konvergenzexponent von \[ a_0(z)f^n(z)+\cdots+a_{n-1}(z)f(z)+a_n(z)=\psi(z) \] ist dann und nur dann \(<\varrho\), wenn für \(\psi(z)\) gilt \[ \psi(z)=C(z)(f(z)-a(z))^n, \] wo \(a(z)\), \(C(z)\) ganze Funktionen darstellen. Dieser Satz ist dann und nur dann richtig, wenn noch die weitere Voraussetzung gemacht wird \(a_0(z)\neq 0\), was der Verf. nicht betont. Verf. behauptet den folgenden weiteren Satz: Wenn \(f(z)\) eine ganze Funktion ohne Nullstellen darstellt und eine ihrer höheren Ableitungen \(f^{(n)}(z)(n\geqq 2)\) ebenfalls nirgends verschwindet, so ist \(f(z) = e^{az+C}\) (\(a\) und \(C\) sind Konstante). Vermutlich ist dieser Satz richtig. Hingegen ist der vom Verf. dargestellte Beweis in verschiedenen Punkten lückenhaft; es wird mit unbewiesenen Behauptungen und Hypothesen operiert, so daß der publizierte Beweis nicht als stichhaltig bezeichnet werden kann.