A representation of all analytic functions in terms of functions with positive real part. (Q2602462)

Verf. untersucht für \(|z| < 1\) reguläre Funktionen \[ f_k(z)=z^k+\sum\limits_{k+1}^\infty a_nz^n\qquad (k\geqq1), \] welche die Eigenschaft haben, daß für jedes \(r\) \((0 < r < 1)\) das Bild von \(|z| = r\) die reelle Achse in genau \(2k\) Punkten trifft. Er zeigt, daß ein solches \(f_k(z)\) darstellbar ist in der Form \[ f_k(z)=\dfrac{z^k}{\prod\limits_{s=1}^{2k}(1-ze^{-i\theta_s})} \cdot\big[1+ie^{-i\sigma_k}\cdot\sin\sigma_k\{F(z)-1\}\big], \] wo die \(\theta_s2k\) von \(f_k\) abhängigen Konstanten mit \((-1)^{k-1} \sin\frac12\sum\limits_1^{2k}\theta_s\geqq 0\) bedeuten und wobei \(F(z)\) regulär ist für \(|z|<1\) mit \(\mathfrak RF(z) > 0\) und \(F(0) = 1\). Hieraus werden Schranken für die \(|a_n|\) \ abgeleitet. Weiter betrachtet Verf. gewisse Spezialfälle.