I sistemi d'equivalenza di specie qualunque sopra una varietà algebrica, come sistemi razionali. I. II. (Q2602551)

\textbf{I}. Für die Theorie der Äquivalenzscharen gelten die beiden folgenden grundlegenden Sätze: 1) \(M_{r}\) sei eine aus irreduziblen Teilen gleicher Dimension bestehende Mannigfaltigkeit; dann ist ein unirationales System virtueller oder effektiver Mannigfaltigkeiten \(V_k\) auf \(M_{r}\) ein Äquivalenzsystem (der Gattung \(k\)). 2) Dafür, daß ein algebraisches System von \(V_{k}\) auf \(M_{r}\) ein Äquivalenzsystem sei, ist kennzeichnend, daß es gänzlich in einem rationalen System von, im allgemeinen virtuellen, \(V_{k}\) enthalten sei. Der Beweis erfordert eine Untersuchung der algebraischen Korrespondenzen \(T\) zwischen zwei irreduziblen Mannigfaltigkeiten \(M_{r}\), \(N_{s}\), die Verf. hier skizziert. In der Mannigfaltigkeit \(M_r\times N_s\) der Punktepaare bildet \(T\) eine Mannigfaltigkeit der Dimension \(\varrho =r+l=s+k\), wenn \(T\) einem Punkte \(x\) aus \(M_{r}\) eine \(V_l^\prime\) auf \(N_{s}\), einem \(x'\) aus \(N_{s}\) eine \(V_{k}\) aus \(M_{r}\) zuordnet; man kann \(T\) als einfach annehmen, so daß es nur ein \(x\) gibt, dem \(V_l^\prime\) zugeordnet wird. Eine besondere Bedeutung kommt den Korrespondenzen \(\varPhi (x)=x\times N_s\); \(\varPhi '(x')\times M_r\) zu. Die Schnittmannigfaltigkeit \((T, \varPhi )\) ist von der Dimension \(\varrho -r\) und, wenn \(T\) ausgeartet ist, virtuell. Betrachtet man die Mannigfaltigkeiten der Dimension \(s\) in \(M_r\times N_s\) bis auf eine rationale Äquivalenz, so ist \((T, \varPhi )\) für die Äquivalenz der Gattung \(\varrho -r\) auf \(M_{t}\) die Nullmannigfaltigkeit. \textbf{II}. Sind \(M_{r}\), \(N_{s}\) lineare Räume mit den Koordinaten \(x_1\),\dots, \(x_{r}\); \(x_1^\prime\),\dots, \(x_{s}^\prime\), so läßt sich \(T\) als algebraische Summe von Korrespondenzen \(S\) darstellen, deren jede einem \(x'\) aus \(V_l^\prime\) eine (von mehrfachen Teilen freie) Mannigfaltigkeit \(W_{k}\) zuordnet, die vollständiger Schnitt von \(r k\) durch \(x'\) rational bestimmten Formen der \(M_{r}\) ist, also in \(M_{r}\) die Gleichungen \[ \alpha _i(x_1,\dots, x_r;\;\;x_1,\dots, x_1^\prime)=0\qquad(i=1,\dots , r-k) \] hat. Befreit man \(x'\) von der Voraussetzung der Lage in \(V_l^\prime\), so stellen diese Gleichungen eine auf die ganze \(N_s\) erweiterte Korrespondenz dar, die im allgemeinen sich als Summe der auf \(N_{s}\) erweiterten \(S\)-Korrespondenz \(\overline{S}\) und weiterer in \(N_{s}\) ausartender Korrespondenzen \(\overline{U}\) darstellt. \(\overline{S}\) kann in \(M_{r}\) ausarten oder nicht. Der Beweis für den oben genannten ersten Hauptsatz geht nun durch Induktion bezüglich \(k\) vor, da der Satz für \(k = r - 1\) eine bekannte Eigenschaft der Linearsysteme enthält; für \(k\geqq r\) bildet man die \(V_{k}\) auf die Gruppen einer Involution \(J_\mu \) in einem \(N_{s}\) ab und untersucht die Korrespondenz \(T\) zwischen \(M_{r}\) und \(N_{s}\) mit obigen Mitteln. Der zweite Hauptsatz ist ein Korollar des ersten.