The arithmetical invariants of algebraic loci. (Q2602554)

Auf einer algebraischen \(V_{d}\) sind in den beiden vorstehend besprochenen Arbeiten die kanonischen Systeme \(X_{k}\) der Dimensionen \(k=0\),\dots, \(d- 1\) definiert worden. Der Schnitt der Mannigfaltigkeiten aus \(X_{d-l_1}\),\dots, \(X_{d-l_s}\) wird, falls \(\sum l_i=d\) ist, im allgemeinen aus endlich vielen Punkten bestehen, deren Anzahl eine relative birationale Invariante von \(V_{d}\) gibt; man findet auf diesem Wege ebenso viele solcher Invarianten, wie es Summendarstellungen von \(d\) gibt. Das Hauptergebnis lautet: Alle diese Invarianten \(\pi \) sind linear unabhängig; sie sind linear durch die projektiven Charaktere von \(V_{d}\) ausdrückbar. Man hat bisher auf \(V_{d}\) folgende arithmetischen Invarianten eingeführt: (1) das arithmetische Geschlecht \(P_{a}\), d. h. die virtuelle Anzahl linear-unabhängiger kanonischer \(V_{d-1}\) auf \(V_{d}\); (2) das arithmetische Geschlecht \(p_{d}\); ist die Postulation von \(V_{d}\) für Hyperflächen genügend hoher Ordnung \(l\) gleich \[ \textstyle \sum\limits_{i=0}^{d}k_i\,\displaystyle {l+d-i\choose d-i}, \] so ist: \[ p_d=(-1)^d\,\Bigl(\textstyle \sum\limits_{i=0}^{d}k_i-1\Bigr); \] (3) die Invarianten \(\varOmega _i\) gleich dem Wert von \(P_{a}\) für die Schnittmannigfaltigkeit von \(d - i\) kanonischen \(V_{d-1}\) der \(V_{d}\). Alle diese Invarianten sind lineare Funktionen der projektiven Charaktere von \(V_{d}\). \(P_{a}\) ist linear durch die Invarianten \(\pi \) ausdrückbar, was einen neuen Beweis für die relative Invarianz von \(P_{a}\) liefert. Diese Tatsachen ermöglichen den Nachweis, daß allgemein \(p_d=P_a\) ist, was bisher nur für \(d = 2\), 3 bewiesen war. Die genannten Beziehungen zwischen den alten und den neuen Invarianten sowie den projektiven Charakteren werden für \(d\leqq 6\) explizit ermittelt; die Ergebnisse decken sich z. T. mit denen von \textit{Roth} (s. nachstehendes Referat). Anwendung auf die Berechnung von \(P_{a}\), wenn \(V_{d}\) das topologische Produkt von \(V_{p}\), \(V_{q}\) mit den arithmetischen Geschlechtern \(p_a\), \(p_a^\prime\) ist; Ergebnis: \[ P_a+(-1)^d=(p_a+(-1)^p)(p_a^\prime+(-1)^q). \]