Forme canoniche dei \(ds^2\) binari con data curvatura totale. (Q2602665)

Aus der kanonischen Form des Linienelementes \(ds^2\) einer Fläche in geodätischen Polarkoordinaten leitet Verf. eine kanonische Form des \(ds^2\) in isothermen Parametern \(\xi \), \(\eta \) ab. Sind \(x\), \(y\) \textit{Riemann}sche Normalkoordinaten in der Umgebung eines Punktes \(O\) der Fläche und setzt man \(z = x + iy\), \(\zeta = \xi + i\eta \), so genügt \(\zeta \) der folgenden Differentialgleichung: \[ (2+z\bar z\gamma )\,\dfrac {\partial \zeta }{\partial \bar z} + z^2\gamma \dfrac {\partial \zeta }{\partial z} =0; \] dabei ist \(\gamma \) eine durch die \textit{Gauß}sche Krümmung vollkommen bestimmte reguläre (d. h. in einer Umgebung von \(O\) stetige und genügend oft stetig differenzierbare) Funktion von \(z\) und \(\bar z\). Durch die Zusatzforderung \(\zeta = z\) für \(\bar z = 0\) ist \(\zeta \) durch \(K\) eindeutig bestimmt, und das zugehörige Linienelement hat die Gestalt: \[ ds^2 = \frac {d\xi ^2 +d\eta ^2}{\Bigl(1-\dfrac {z\bar z\gamma }{2+z\bar z\gamma } \Bigr)^2\,\Bigl|\dfrac {\partial \zeta }{\partial z}\Bigr|^2 }. \] Für Flächen konstanter Krümmung \(K\) erhält man so die bekannte Form \[ ds^2 = \frac {d\xi ^2 +d\eta ^2}{\bigl(1+\frac {1}{4}K\varrho ^2\bigr)^2} \qquad (\varrho ^2=\xi ^2+\eta ^2). \] Zum Schluß untersucht Verf. \ Stetigkeits- und Differenzierbarkeitseigenschaften der auftretenden Funktionen.