Die Petersonschen Flächen mit konischen Krümmungslinien. (Q2602678)

Dem Gedächtnis \textit{P. Stäckel}s widmet Verf. diese Arbeit in Anknüpfung an \textit{Stäckel}s Ergebnisse über die Eigenschaften derjenigen Flächen, die ein konjugiertes System konischer Krümmungslinien besitzen (\textit{P. Stäckel}, S.-B. Heidelberger Akad. Wiss. Math.-nat. Kl. 1915, Nr. 3; F. d. M. 45, 873 (JFM 45.0873.*)) und aus Anlaß des Gedenkens an \textit{Stäckel}s 75. Geburtstag. Unter \textit{Peterson}schen Flächen versteht man bekanntlich solche, auf denen es ein Netz konjugierter Kurven gibt derart, daß sich längs ihnen der Fläche Berührungs\-kegel umbeschreiben lassen. Als Grenzfälle dieser \(P\)-Flächen erscheinen die Schiebungsflächen und die ``zylindrokonischen'' Flächen. Jene konischen Kurven seien überdies Krümmungslinien. Dann ist der Gegenstand der vorliegenden Untersuchungen die (synthetische und analytische) Bestimmung der hierfür in Frage kommenden Flächenklasse unter Einbeziehung der genannten Grenzfälle. Diese Bestimmung wird jeweils zuerst in rein begrifflich-geometrischer Form vorgenommen, hernach durch eine höchst durchsichtige analytische Betrachtungsweise, die sich der Methode der vektoriellen Darstellung differentialgeometrischer Probleme bedient, erhalten. Dabei erfolgt zuerst die Bestimmung der zylindrokonischen Flächen, deren \textit{Peterson}-Netz aus Krümmungslinien besteht (Kegel mit beliebiger Leitkurve oder Drehflächen), hierauf die der Flächen mit konischen Krümmungslinien. Die allgemeinsten Flächen dieser Art werden durch Inversion entweder der Drehflächen oder der allgemeinen Kegelfläche erhalten. Analytisch führt dies im wesentlichen auf die Lösung der Gleichung \[ \mathfrak U''\,\mathfrak B''=0,\tag{9} \] wobei die allgemeinen \textit{Peterson}schen Flächen, die nicht in Grenzfälle ausarten, durch die Gleichung \(\mathfrak x=\dfrac {\mathfrak U+\mathfrak B}{u+v}\) dargestellt sind. (9) besagt, daß die Kegelspitzen der konischen Kurven auf zwei Kurven liegen, deren Tangenten sich allenthalben senkrecht kreuzen. Es handelt sich dann im allgemeinen Fall darum, die Vektoren \(\mathfrak U\neq 0\) und \(\mathfrak B\neq 0\) zu bestimmen, was nun im einzelnen durchgeführt wird. Zum Schluß wird diese Bestimmung, die sich mit den Hilfsmitteln der Kugelgeometrie analytisch wesentlich vereinfacht, mit diesen Methoden vorgenommen. (V 6 D.)