Invarianti differenziali relativi alle trasformazioni puntuali e dualistiche fra due spazi euclidei. (Q2602702)

Es handelt sich hauptsächlich um Untersuchungen über die metrisch-differentiellen Invarianten einer \textit{dualistischen} Korrespondenz zwischen zwei euklidischen Räumen \(S_n\) und \(S_n'\) mit derselben Dimensionszahl \(n\), d. h. einer Korrespondenz, welche einem Punkte \(P\) von \(S_n\) eine Hyperebene \(\pi '\) von \(S_n'\) zuordnet. Diese Untersuchungen, welche durch frühere Arbeiten von \textit{Tricomi} (Atti Accad. naz. Lincei, Rend. Cl. Sci. fis. mat. nat. (6) 13 (1931); 407-411, 478-484; (6) 23 (1936); 313-316; JFM 57.1003.*, 1004; 62\(_{\text{I}}\), 856) über den Begriff der \textit{Dichte} einer solchen dualistischen Korrespondenz angeregt worden sind, führen Verf. u. a. zum folgenden schönen Satz, wo unter der \textit{Dichte} einer gewöhnlichen (d. h. Punkt-)Korrespondenz der Wert ihrer \textit{Jacobi}schen Determinante zu verstehen ist: Es seien \(P'\) und \(P''\) bzw. der Fußpunkt des von einem behebigen festen Punkt \(O\) von \(S_n'\) auf \(\pi '\) gefällten Lotes und der Pol von \(\pi '\) in bezug auf die Einheitshyperkugel mit Zentrum \(O\). Es seien ferner \(\delta '\), \(\delta ''\) und \(\delta \) bzw. die Dichte der drei Korrespondenzen \(P \to P'\), \(P \to P''\) und \(P \to \pi \). Dann hat man: \[ \frac {\delta '}{\overline{OP}^{\,n-1}} = \frac {\delta ''}{\overline{OP}^{\,n+1}} = \delta, \] unabhängig von der Wahl des festen Punktes \(O\). Es sei nebenbei bemerkt, daß alle diese Dichten im engsten Zusammenhang mit den Dichten der \textit{Blaschke}schen Integralgeometrie stehen. (V 6 C.)