Vorlesungen über Integralgeometrie II. (Q2602743)

Im Anschluß an den ersten Band desselben Werkes (1935, 1936; JFM 61.0761.*) über die ebene Integralgeometrie wird in diesem zweiten Band die räumliche Integralgeometrie behandelt. Zu Beginn wird die kinematische Dichte im Raum als sechsfaches Differential eingeführt, worin die Dichte der Drehungen und Schiebungen getrennt enthalten ist. Im weiteren Verlauf werden noch andere Gestalten dieser Dichte angegeben, wobei sich auch die Dichte aller Geraden als Faktor abspalten läßt. Diese Begriffsbildungen werden auf die Geometrie der Eikörper angewandt, wobei sich Formeln von \textit{Cauchy} und \textit{Minkowski} über das Volumen von Parallelkörpern ergeben und einige weitere nebst einer isoperimetrischen Ungleichung von \textit{Bonnesen}. Weiterhin werden auch Dichten von Figuren mit Bewegungsinvarianten, wie Punkt- und Ebenenpaaren, angegeben und gleichfalls auf die Geometrie der Eikörper angewandt. Teil III enthält die sogenannte kinematische Hauptformel: \[ \int C\,(\mathfrak G_0\mathfrak G_1)\,\mathfrak G_0 = 8\pi ^2\,\{ C_0V_1 + M_0O_1 + O_0M_1 + V_0C_1\} . \] Hierin bedeuten \(O_i\), \(V_i\), \(C_i\), \(M_i\) Oberfläche, Volumen, Ecken- und Kantenkrümmung der zunächst polyedral begrenzten Gebiete \(\mathfrak G_0\), \(\mathfrak G_1\) und \(C\,(\mathfrak G_0\mathfrak G_1)\) die Eckenkrümmung des Durchschnitts. Integriert wird über alle Lagen des einen Gebiets \(\mathfrak G_0\). Diese Formel enthält nun durch Spezialisierung eine Fülle von bekannten Formeln von \textit{Santaló} u. a. Eine entsprechende Formel wird auch noch für drei Gebiete angegeben. Wie im ersten Teil wird dann gezeigt, daß diese Hauptformel auch für beliebige topologische Komplexe gilt, wenn die darin auftretenden Größen sinngemäß für die ``Bausteine'', Ecken, Strecken usf. erklärt sind. Zum Schluß wird hergeleitet, daß die in der Formel auftretenden Größen \(C\), \(M\), \(O\), \(V\) im wesentlichen die einzigen Komplexfunktionen sind, die die Eigenschaft \[ \varPhi (\mathfrak G_1) + \varPhi (\mathfrak G_2) = \varPhi (\mathfrak G_1+\mathfrak G_2) + \varPhi (\mathfrak G_1\mathfrak G_2) \] haben. Zu beiden Kapiteln findet sich wiederum eine Fülle von Problemen und Aufgaben beigegeben.