Integralgeometrie 18: Grundlagen der ebenen Integralgeometrie. (Q2602745)

Verf. will die Tragweite der Ergebnisse der Integralgeometrie, die bisher fast ausschließlich durch Rechnung gewonnen wurden, abgrenzen und will klären, unter welchen Voraussetzungen die Beweise, die zu diesen Ergebnissen geführt haben, Gültigkeit besitzen. Die Arbeit zerfällt in die Hauptteile ``Integralmittelwerte'' und ``Integralgeometrische Maße'', von denen der erste auch für manchen außer den Freunden der Integralgeometrie von Interesse sein dürfte. Die Argumente der reellen Funktion \(f (x)\) seien Elemente einer beliebigen Gruppe \(\mathfrak G\). Dann heißt \(f (x)\) \textit{mittelbar}, wenn es zu beliebigen positiven \(\varepsilon _1\) und \(\varepsilon _2\) endlich viele, etwa n Elemente, \(a_i\) aus \(\mathfrak G\) und eine Zahl \(A\) gibt, so daß für alle \(c\) und \(d\) aus \(\mathfrak G\) gilt \[ A-\varepsilon _1 \leqq \frac {1}{n} \sum f(ca_id)\leqq A+\varepsilon _2. \] Entsprechend wird definiert, wann \(f (x)\) \textit{rechts}- bzw. \textit{linksmittelbar} heißt. Der Integralmittelwert \(\{ M_xf(x)\} \) mittelbarer Funktionen besitzt folgende Eigenschaften: (1) M ist translationsinvariant, d. h. es ist \[ \{ M_xf(cxd)\} = M_x\{ f(x)\}, \] wenn \(c\) und \(d\) beliebige feste Elemente aus \(\mathfrak G\) sind. (2) M ist additiv, d. h. es ist \[ M(f) + M(g)=M(f + g). \] (3) M ist monoton, d. h. es ist \[ M(f) \leqq M(g), \] wenn für jedes \(x\) aus \(\mathfrak G\) gilt: \(f (x)\leqq g (x)\). Weiter fordert man von \(M\) zweckmäßig die Normungseigenschaft \(M (1) = 1\). Wenn \(M\) statt der Translationsinvarianz nur die Eigenschaft \[ M_x\{ f(xd)\} = M_x\{ f(x)\} \text{ \;\;bzw. \;\;} M_x\{ f(cx)\} = M_x\{ f(x)\} \] besitzt, so heißt \(M\) \textit{rechts}- bzw. \textit{linksinvariante} Mittelwertoperation. Es wird gezeigt, daß jede Klasse rechtsmittelbarer Funktionen eine eindeutig bestimmte linksinvariante Mittelwertoperation besitzt, die sogar auch rechtsinvariant ist. Entsprechendes gilt für Klassen linksmittelbarer Funktionen. Weiter wird bewiesen, daß \(f(x^{-1})\) links- bzw. rechtsmittelbar ist, wenn nur \(f (x)\) rechts- bzw. linksmittelbar ist. Es wird gezeigt, daß mittelbare Funktionen existieren, und es werden Beispiele mittelbarer Funktionen angegeben. Im zweiten Hauptteil werden die Überlegungen und Ergebnisse des ersten Hauptteils zur Ableitung von Aussagen über die in der Integralgeometrie der euklidischen Ebene auftretenden Maße, die hier als additive, monotone und normierte Mengenfunktionen definiert werden, angewandt. Dadurch läßt sich z. B. die Eindeutigkeit der verschiedenen Maße leicht zeigen. Weiter beschäftigt sich der Verf. hauptsächlich mit dem kinematischen Maß und mit der Ableitung der kinematischen Hauptformel. (IV 3 B, 7.)