Integralgeometrie 21: Über Schiebungen. (Q2602747)

In dieser Arbeit wird zum ersten Male den Untersuchungen über Integralgeometrie nicht die volle Bewegungsgruppe, sondern die Gruppe der Schiebungen in der Ebene wie im Raum zugrunde gelegt. Verf. beschränkt sich dabei auf die Betrachtung von Vielecken und Vielflachen. (Allgemeinere Bereiche werden in der nachstehend besprochenen Arbeit von \textit{Berwald} und \textit{Varga} betrachtet.) In der Ebene seien \(\mathfrak G_0\) und \(\mathfrak G_1\) zwei Dreieckskomplexe mit den Flächeninhalten \(F_0\) und \(F_1\). \(Z_0\), \(Z_1\) und \(Z (\mathfrak G_0\mathfrak G_1)\) seien die \textit{Euler}schen Zusammenhangszahlen von \(\mathfrak G_0\), \(\mathfrak G_1\) und dem Durchschnitt von \(\mathfrak G_0\) und \(\mathfrak G_1\). Ist dieser Durchschnitt leer, so ist \(Z (\mathfrak G_0\mathfrak G_1)=0\) zu setzen. Für die beliebigen Dreieckskomplexe \(\mathfrak G_0\) und \(\mathfrak G_1\) wird eine Größe \(H_{01}\) definiert, die eine Verallgemeinerung des gemischten Flächeninhalts konvexer Gebiete darstellt. Für den speziellen Fall nämlich, daß \(\mathfrak G_0\) und \(\mathfrak G_1\) konvex sind, fällt \(H_{01}\) mit dem gemischten Flächeninhalt von \(\mathfrak G_0\) und \(\mathfrak G_1^*\) zusammen, wenn \(\mathfrak G_1^*\) durch Spiegelung an einem Punkt aus \(\mathfrak G_1\) entsteht. Hält man den Dreieckskomplex \(\mathfrak G_0\) fest, und verschiebt man \(\mathfrak G_1\) beliebig parallel zu sich, so gilt die \textit{Hauptformel für die Schiebungen ebener Gebiete} \[ \int Z (\mathfrak G_0\mathfrak G_1)\,\dot\mathfrak G_1 =Z_0F_1 +2H_{01} + F_0Z_1.\tag{1} \] Mit \(\dot\mathfrak G_1\) ist dabei die Dichte eines mit \(\mathfrak G_1\) verbundenen Punktes bezeichnet. Aus (1) wird die entsprechende Formel für den Fall ``unendlich schmaler'' Gebietsstreifen hergeleitet. Durch den Vergleich dieser beiden Hauptformeln in dem Fall, daß die Dreieckskomplexe \(\mathfrak G_i\) einfach zusammenhängend sind, wird die Ungleichung von \textit{Minkowski} und die von \textit{Bonnesen} und \textit{Blaschke} stammende Verschärfung dieser Ungleichung gewonnen. Weiter werden die Hauptformeln für Schiebungen für drei Gebiete in der Ebene und für zwei und drei Gebiete (Tetraederkomplexe) im Raum abgeleitet.