Integralgeometrie 22: Über geschlossene Kurven und Flächen in der elliptischen Geometrie. (Q2602752)

\(\mathfrak F\) sei eine geschlossene, stetig gekrümmte und orientierbare Fläche im dreidimensionalen elliptischen Raum \(E_3\). \(\mathfrak x\) sei ein beliebiger Punkt im \(E_3\). Dem Lot von \(\mathfrak x\) an \(\mathfrak F\) mit dem Fußpunkt \(\mathfrak p_i\) auf \(\mathfrak F\) wird die Zahl \(\delta _i=+1\) oder \(\delta _i=-1\) zugeordnet, je nachdem die Entfernung ) \(|\mathfrak {xp_i}|\) bei festem \(\mathfrak x\) ein Extrem oder ein Sattelwert ist. Jeder Punkt \(\mathfrak x\) erhält so eine Kennziffer \[ n(\mathfrak x) =\sum \delta _i, \] wobei die Summe über alle Lote von \(\mathfrak x\) an \(\mathfrak F\) zu erstrecken ist. Bezeichnet \(\dot {\mathfrak F}\) das Raum element an der Stelle \(\mathfrak x\) und \(p\) das Geschlecht von \(\mathfrak F\), so gilt: \[ \int n(\mathfrak x)\,\dot {\mathfrak x} =2\pi ^2 (1-p). \] Für die geschlossenen Kurven in der elliptischen Ebene wird eine entsprechende Beziehung hergeleitet.