Sur la possibilité de plonger un espace à connexion projective donné dans un espace projectif. (Q2602805)

Die projektive Konnexion eines \(n\)-dimensionalen projektiven Raumes \(\mathfrak{P}_n\) sei in bezug auf ein Simplexfeld \(\underset{\lambda}{\boldsymbol A}\) (\(\lambda,\mu,\omega,\nu = 0,\ldots, n\)) folgendermaßen gegeben \[ d\underset{\lambda}{\boldsymbol A} = \overline{\omega}_\lambda^\mu\underset{\mu}{\boldsymbol A}, \;(\omega_0^0 = 0). \tag{1} \] Die projektive Konnexion eines \(N\)-dimensionalen projektiven linearen Raumes \(P_N (N > n)\) sei in bezug auf ein Simpiexfeld \(\underset{a}{\boldsymbol B}\) (\(a, b, c = 0,\ldots, N\)) folgendermaßen gegeben \[ d\underset{a}{\boldsymbol B} = \omega_a^b\underset{b}{\boldsymbol B}, \;(\omega_0^0 = 0). \tag{2} \] Die tangentiale Hyperebene \(T(\underset{0}{\boldsymbol B})\) von \(\mathfrak{P}_n\) im laufenden Punkte \(\underset{0}{\boldsymbol B}\) von \(\mathfrak{P}_n\) soll durch \(\underset{0}{\boldsymbol B},\ldots, \underset{n}{\boldsymbol B}\) aufgespannt werden, und der von den Punkten \(\underset{n+1}{\boldsymbol B},\ldots, \underset{N}{\boldsymbol B}\) aufgespannte Raum soll zu \(T(\underset{0}{\boldsymbol B}\) elementenfremd sein. Dann lehrt der Vergleich von (1) und (2) \[ \omega_0^\mu = \overline{\omega}_0^\mu, \;\omega_0^{n+1} = \cdots = \omega_0^N = 0, \;\omega_i^0 = \overline{\omega}_i^0, \;\omega_j^i = \overline{\omega}_j^i, \qquad (i,j =1,\ldots,n). \] Unter Voraussetzung der linearen Unabhängigkeit der Formen \(\omega_0^\lambda\) bekommt man durch Subtraktion der zu (1) und (2) gehörigen Strukturgleichungen \[ R_{[\omega\mu\lambda]}^0 = 0, \;R_{0\omega\mu}^\lambda =0, \] wo \(R_{\omega\lambda\mu}^\nu\) die Krümmungsgröße von \(\mathfrak{P}_n\) darstellt. Sind diese Bedingungen erfüllt, so kann man die gegebene \(\mathfrak{P}_n\) immer in eine \(P_N\) einbetten, wo \[ \begin{aligned} & N = \dfrac{n(n+1)}{2} + \dfrac{n-1}{2} \;\text{ für ungerades } n, \\ & N = \dfrac{n(n+1)}{2} + \dfrac{n}{2} \;\text{ für gerades } n. \end{aligned} \]