Sulle terne di congruenze di curve nello spazio proiettivo. (Q2602806)

Jedem Punkte \(\underset{0}{\boldsymbol P}\) eines dreidimensionalen projektiven Raumes denkt man sich in irgend einer Weise drei Punkte \(\underset{\lambda}{\boldsymbol P}\) zugeordnet, so daß die Punkte \(\underset{i}{\boldsymbol P}\) linear unabhängig sind. (\(i,j, k, l = 0,\ldots, 3; \lambda, \mu, \nu = 1, 2,3\)). Führt man nun die \textit{Pfaff}schen Ausdrücke \(\omega_j^i\) mittels der Formeln \[ d\underset{j}{\boldsymbol P} = \omega_j^i\underset{i}{\boldsymbol P} \tag{1} \] ein und setzt man die lineare Unabhängigkeit der Formen \(\omega_0^\lambda\equiv \omega^\lambda\) voraus, so kann man setzen \[ \omega_j^i = \varGamma_{j\lambda}^i\omega^\lambda. \tag{2} \] Die Ausdrücke \(\omega_j^i\) und \(\varGamma_{j\lambda}^i\) transformieren sich in bezug auf die Punkttransformation \[ \underset{i}{\overline{\boldsymbol P}} = u_i^j\underset{j}{\boldsymbol P}, \;\underset{j}{\boldsymbol P} = v_j^i\underset{i}{\overline{\boldsymbol P}} \tag{3a} \] folgendermaßen: \[ \begin{matrix} (a) & \overline{\omega}_i^l = \omega_i^ku_i^jv_k^l + v_j^ldu_i^j, \\ (b) & \overline{\varGamma}_{i\lambda}^l\overline{\omega}^\lambda = \varGamma_{j\mu}^k\omega^\mu v_k^lu_i^j + v_j^ldu_i^j, \end{matrix} \tag{4} \] wo man in (4 b) noch die Werte von \(\overline{\omega}^\lambda\) aus (4 a) setzen kann. Durch jeden Punkt \(\underset{0}{\boldsymbol P}\) soll nun eine einzige Kurve \(\underset{\lambda}{C}\) je einer gegebenen Kongruenz \(\underset{\lambda}{K}\) gehen, und zwar so, daß die Tangenten \(\underset{\lambda}{t}\) der Kurven \(\underset{\lambda}{C}\) in \(\underset{0}{\boldsymbol P}\) linear unabhängig sind. Der Punkt \(\underset{\lambda}{\boldsymbol P}\) soll auf \(\underset{\lambda}{t}\) gewählt werden. Dann ist die allgemeinste Form von (3 a) mittels \[ v_0^0 =\sigma_0, \;v_\lambda^\mu = \delta_\lambda^\mu\sigma_\lambda, \;v_\lambda^0 = \varrho_\lambda \qquad (\sigma_0\cdot\sigma_\lambda\neq 0) \tag{3} b \] (und daraus entspringenden Koeffizienten \(u_j^i\)) gegeben. Somit vereinfachen sich die Formehl (4). Der Hauptgedanke des Verf. ist nun das Aufsuchen der Invarianten in bezug auf die so eingeschränkten Transformationen (3 b) und die geometrische Interpretation von solchen Invarianten. Als Beispiel sollen hier die Bedingungen für die projektive Äquivalenz zweier solcher Kongruenztripel erwähnt werden, \[ \dfrac{\varGamma_{\lambda\lambda}^\mu \left(\varGamma_{\mu\mu}^\lambda\right)^2}{\varGamma_{\nu\nu}^\mu \left(\varGamma_{\mu\mu}^\nu\right)^2} = \dfrac{\overline{\varGamma}_{\lambda\lambda}^\mu \left(\overline{\varGamma}_{\mu\mu}^\lambda \right)^2}{\overline{\varGamma}_{\nu\nu}^\mu \left(\overline{\varGamma}_{\mu\mu}^\nu\right)^2} \] für jede Permutation \(\lambda, \mu, \nu\) der Indices 1, 2, 3. Die beiderseits stehenden Ausdrücke sind absolute Invarianten. Geht man zur metrischen Geometrie über, so zeigt eine einfache Rechnung, daß -- wenn \(\underset{0}{\boldsymbol P}\) sich längs einer Fläche bewegt -- die Koeffizienten \(\varGamma_{j\lambda}^i\) beide Hauptformen der Flächentheorie bestimmen. -- Anderseits werden die \(\varGamma_{j\lambda}^i\) zum geometrischen Studium der gegebenen Kongruenzen benützt, wo man in natürlicher Weise zu den Begriffen der Brennpunkte, asymptotischen Richtungen usw. kommt. Wegen Einzelheiten muß auf die Arbeit selbst verwiesen werden.