Arcs in affinely connected spaces. (Q2602813)

Nach Art der geodätischen Parallelkoordinaten werden in einer analytischen Mannigfaltigkeit von affinem Zusammenhang mit Hilfe der Normalkoordinaten in einem Punkte Normalkoordinaten \(z_1,\ldots,z_n\) längs eines beliebigen regulären analytischen Bogens eingeführt. \(z_2 = \ldots = z_n = 0\) ist die Gleichung des Bogens, und \(z_1 = \) const sind \((n - 1)\)-dimensionale Mannigfaltigkeiten, die von einer \((n 1)\)-dimensionalen linearen Schar von durch den Punkt \(z_1 = \) const, \(z_2 = 0,\ldots, z_n = 0\) gehenden Bahnkurven des Zusammenhanges erzeugt werden. So ergibt sich der Satz, daß jeder reguläre analytische Bogen durch ein im kleinen reguläres analytisches Koordinatensystem überdeckt werden kann. Dieses Koordinatensystem ist in einer genügend kleinen Nachbarschaft des Bogens auch im großen regulär, wenn der Bogen keine mehrfachen Punkte besitzt. Mit Hilfe der Koordinatensysteme \(z_1,\ldots,z_n\) zeigt Verf. ferner, daß je zwei Punkte einer affin zusammenhängenden Mannigfaltigkeit durch einen regulären analytischen Bogen verbunden werden können, und allgemeiner den folgenden Satz: In einer affin zusammenhängenden analytischen Mannigfaltigkeit seien endlich viele (nicht notwendig voneinander verschiedene) Punkte \(P_1,\ldots, P_r\) beliebig vorgegeben; dann gibt es einen regulären analytischen Bogen \(C(t)\) (\(0\leqq t \leqq 1\)) derart, daß für \(0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_r = 1\) \(C(t_\nu)= P_\nu\) wird. Es kann folglich jeder stetige Weg beliebig genau durch einen regulär analytischen Bogen approximiert werden.