On the concept of gravitational force and Gauß's theorem in general relativity. (Q2602841)

Bekanntlich läßt sich in der allgemeinen Relativitätstheorie das Gravitationsfeld in einem Punkt forttransformieren, nicht aber in einem Gebiet. \textit{Synge} will jetzt nur den nichtforttransformierbaren Teil des Gravitationsfeldes betrachten und erreicht dies indem er in Anschluß an die bekannten Formeln für den ``écart géodésique'' den Begriff des ``Exzesses'' \(f^i\) des Gravitationsfeldes in \(x^i + \eta^i\) in bezug auf den zeitartigen Vektor \(\lambda^i\) in \(x^i\) einführt: \[ f^i = -R_{.jkl}^i\lambda^j\eta^k\lambda^l. \] Er beweist dann folgende Sätze. Ist \(\mu^i\) Tangentialeinheitsvektor einer Kurve \(C\) und \(\lambda^i\) ein längs \(C\) definiertes Einheitsvektorfeld, so ändert sich die Gravitation \(X^i\) in bezug auf \(\lambda^i\) längs \(C\) folgendermaßen: \[ \dfrac{\delta X^i}{\delta s} = -R_{.jkl}^i\lambda^j\mu^k\lambda^l. \] Ist das Feld \(\lambda^i\) längs \(C\) kovariant konstant, so ist die Komponente von \(X^i\) in der Richtung von \(\lambda^i\) längs \(C\) konstant. Ist \(C\) geodätisch, so ist \[ \dfrac{d}{ds}\left(X^i\mu_i\right) = -\underset{\lambda}{\varepsilon}\underset{\mu}{\varepsilon}K; \;\underset{\lambda}{\varepsilon} = \lambda^i\lambda_i; \;\underset{\mu}{\varepsilon} = \mu^i\mu_i. \] Bei Herumführung um das Flächenelement \(\varDelta S^{km}\) erleidet \(X_i\) eine Änderung, gegeben durch \[ \varDelta X_i = -R_{ijkl}(\lambda^l\nabla_m\lambda^j + \lambda^j\nabla_m\lambda^l)\varDelta S^{km}. \] Für die Divergenz von \(X^i\) gilt \[ \nabla_iX^i = R_{ij}\lambda^i\lambda^j. \] Diese Divergenz gibt den Fluß \(N\) der Gravitationskraft pro Volumen \(\sigma\) in Richtungen senkrecht zu \(\lambda^i\): \[ \nabla_iX^i = \underset{\sigma\to 0}{\text{Lim}}\dfrac{N}{\sigma}. \] Aus den Feldgleichungen (ohne kosmologische Konstante) folgt, daß \(\nabla_iX^i\) bei beliebiger Wahl von \(\lambda^i\) verschwindet in allen Punkten, wo keine Materie ist. Wenn Materie vorhanden ist, ergibt sich \[ \begin{gathered} \nabla_iX^i = - 1/2\varkappa (\varrho - \sum), \;\varkappa = 8\pi G/c^4; \\ \lim\limits_{\sigma\to 0}\dfrac{Nc^2}{\varrho\sigma} = -\dfrac{4\pi G}{c^2}\left(1 - \dfrac{\sum}{\varrho}\right), \end{gathered} \] \(\varrho = \) Energiedichte, \(\sum = \) Summe der Hauptspannungen. Für eine vollkommene Flüssigkeit ist \(\sum = -3p\); \(p = \) Druck. Ist nur Strahlung vorhanden, so ist \(\sum = -\varrho\), und es ergibt sich \[ \lim\limits_{\sigma\to 0}\dfrac{N}{\varrho\sigma} = -\dfrac{8\pi G}{c^4}. \]