Remark on the theorem of Green. (Q2602883)

Bekanntlich gilt für einen im kleinen euklidischen Raum \[ \int\limits_R\operatorname{div}\lambda\,dv = 0, \] wenn der Vektor \(\lambda\) mit den Komponenten \(\lambda^i\) auf dem Rand \(B\) von \(R\) verschwindet, oder wenn der Raum geschlossen ist und \(R\) mit dem gesamten Raum zusammenfällt. Verf. bemerkt, daß der übliche Beweis für Gebiete \(R\) im großen ziemlich umständlich ist, und teilt einen einfacheren Beweis mit, der auch für allgemeinere Räume gilt und den Umweg über die Formel \[ \int\limits_R \operatorname{div}\lambda\,dv = \int\limits_B\lambda^i\varPhi_i\,d\omega \] vermeidet. Genauer wird folgendes bewiesen: \(S\) sei eine \(n\)-dimensionale geschlossene Mannigfaltigkeit der Klasse 2, in der eine positive skalare Dichte \(\sqrt g\) vom Gewicht 1 definiert ist, und \(\lambda^i\) sei ein stetig differenzierbares Vektorfeld auf \(S\). Dann gilt: \[ \int\limits_S\operatorname{div}\lambda\,dv \equiv \int\limits_S \frac{\partial (\sqrt g \lambda^i)} {\partial x_i}\,dx_1 \ldots dx_n = 0. \] Ist \(S\) ein Riemannscher Raum der Klasse 2 und genügt die Abstandsfunktion (geodätische Entfernung zweier Punkte von \(S\)) gewissen Differenzierbarkeits- und Beschränktheitsbedingungen, ist ferner \(R\) ein beliebiges Gebiet, dessen abgeschlossene Hülle \(R + B\) kompakt ist, und \(\lambda^i\) ein kontravarianter in \(R\) stetig differenzierbarer Vektor, so gilt \[ \int\limits_R\operatorname{div}\lambda\,dv =0, \] vorausgesetzt, daß \[ \int\limits_R|\operatorname{div}\lambda|\,dv < \infty \] und \[ \lim_{r\to 0} \frac 1r \int\limits_{B_r}\sqrt{g_{ij}\lambda^i\lambda^j}\,dv = 0; \] dabei ist \(B_r\) die Umgebung vom Radius \(r\) des Randes \(B\) von \(R\).