Sur les théorèmes d'existence relatifs aux ondes permanentes périodiques à deux dimensions dans les liquides hétéro\-gènes. (Q2603129)

In einer vorangehenden Arbeit (J. Math. pur. appl. (9) 13 (1934), 217-291; F. d. M. \(60_{\text{I}}\), 733) hat Verf. eine Methode zur Bestimmung der permanenten Wellen in einer homogenen Flüssigkeit entwickelt; in dieser Arbeit überträgt er sie auf Flüssigkeiten veränderlicher Dichte. Die Methode besteht in der Einführung geeigneter Variablen und Funktionen, durch die der Ansatz auf ein nichtlineares Randwertproblem in einem Kreisring für eine nichtlineare elliptische Differentialgleichung führt; deren lineari\-sierter Teil hat im vorliegenden Falle die Gestalt \[ \varDelta v+a\dfrac{\partial v}{\partial x}+b\dfrac{\partial v}{\partial y}+cv=f, \quad c>0, \] während im homogenen Falle \(a=b=c=0\) ist. Zuerst erledigt Verf. das Problem einer zwischen zwei festen Horizontalebenen vom Abstände \(H\) liegenden Flüssigkeit durch schrittweise Näherungslösung eines Integrodifferentialgleichungssystems. Eine nichttriviale permanente periodische Welle ist nur dann möglich, wenn \[ p =\frac g{2\pi}\cdot\frac\lambda{c^2}\qquad(\lambda=\text{Wellenlänge},\;\;c =\text{Fortpflanzungsgeschwindigkeit}) \] in der Umgebung einer Doppelfolge von diskreten Eigenwerten \(p^\nu_m\) liegt; eine solche Welle existiert sicher, wenn \(p\) nicht ein Eigenwert zu hoher Vielfachheit ist und die Dichtefunktion nicht Lösung einer bestimmten Funktionalgleichung ist; diese Bedin\-gungen lassen sich im Falle exponentieller Dichteverteilung z. B. erfüllen, wenn \(\lambda^2:H^2\) irrational oder rational von bestimmter Form ist; in den andern Fällen sind Verzwei\-gungslösungen zu diskutieren. Schließlich erledigt Verf. die Frage für eine Flüssigkeit endlicher Tiefe mit freier Oberfläche, wo ebenfalls in der Umgebung gewisser Eigenwerte Wellen des gesuchten Typs existieren.