Note on the continuity of the ergodic function. (Q2603195)

Eine stetige Kurve \(C\) heißt \(\varepsilon\)-ergodisch in bezug auf die beschränkte Menge \(M\), wenn jeder Punkt von \(M\) in einem Abstand \(\leqq\varepsilon\) von \(C\) liegt. In einer früheren Arbeit (Amer. J. Math. 58 (1936), 727-734; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 260) hat Verf. die Funktion \(\varLambda(\varepsilon)\) definiert als das absolute Minimum (dessen Existenz bewiesen wurde) der Längen aller rektifizierbaren stetigen Kurven, die e-ergodisch in bezug auf \(M\) sind; er hat dann bewiesen, daß \(\varLambda(\varepsilon)\) stetig nach rechts ist. In der vorliegenden Note wird gezeigt, daß \(\varLambda(\varepsilon)\) auch nach links und daher im gewöhnlichen Sinne stetig ist. Der Beweis beruht auf folgendem Hilfssatz: Wenn die offene stetige rektifizierbare Kurve \(C\) der Länge \(L\) in \(n\) Bogen gleicher Länge unterteilt wird, und wenn die Längen der zugehörigen Sehnen \(c_1^{(n)}\),\dots, \(c_n^{(n)}\) sind, so. strebt die Größe \[ \frac1{n+1}{\sum\limits_{i=1}^{n}}\left(1-n\dfrac{c_i^{(n)}}{L}\right)^{\frac12} \] gegen 0 mit \(n\to\infty\).