Mengentheoretische Begründung der Logik. (Q2603384)

Es wird ein logischer Kalkül aufgebaut, der die Mengenlehre umfaßt. Zu diesem Zweck werden zu den Axiomen des Prädikatenkalküls erster Stufe die beiden Axiome über das \textit{Hilbert}sche \(\varepsilon\)-Symbol: \[ (Ex)\mathfrak A(x)\to\mathfrak A(\varepsilon_x\mathfrak A(x)),\quad (x)(\mathfrak A(x)\leftrightarrow\mathfrak B(x))\to\varepsilon_x\mathfrak A(x)= \varepsilon_x\mathfrak B(x), \] hinzugenommen; ferner wird \(\{x\}(y)\) ``\(x\) ist eine Menge und \(y\) ist Element dieser Menge'' als neues Grundprädikat und der Begriff der Menge \((Mx)\) durch die beiden Definitionen \[ \hat x\mathfrak A(x)=\varepsilon_x(y)(\{x\}(y)\leftrightarrow\mathfrak A(y)),\quad Mx=\hat y(\{x\}(y))=x, \] eingeführt, und es werden als Axiome der Mengenbildung im wesentlichen die \textit{Zermelo-Fraenkel}schen Axiome in formalisierter Gestalt aufgestellt. Es wird dann gezeigt, wie sich in diesem Kalkül \(n\)-stellige Relationen darstellen, und wie die Einbeziehung axiomatischer Theorien vor sich geht. Sodann wird eine Einführung der Kardinal- und Ordinalzahlen gegeben und damit gezeigt, wie sich die Abstraktionen mit Hilfe von widerspruchsfrei hinzufügbaren Axiomen darstellen lassen. Schließlich wird die Frage behandelt, ob der Kalkül widerspruchsfrei ist. Läßt man das Unendlichkeitsaxiom fort, so kann der Kalkül mit Hilfe eines zahlentheoretischen Modells als widerspruchsfrei erwiesen werden; der Beweis benutzt die Widerspruchsfreiheit der elementaren Zahlentheorie und die Eliminierbarkeit der \(\varepsilon\)-Regeln.