Die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre. (Q2603388)

Die sogenannte allgemeine Mengenlehre ist derjenige Teil der Mengenlehre, der von dem Unendlichkeitsaxiom keinen Gebrauch macht. In der \textit{Zermelo-Fraenkel}schen Axiomatik setzt die allgemeine Mengenlehre also nur die Axiome der Bestimmtheit, der Paarung, der Vereinigung, der Potenzmenge, der Aussonderung und der Auswahl voraus. In der allgemeinen Mengenlehre gibt es zwar unendlich viele Mengen, jedoch nicht notwendig eine Menge mit unendlich vielen Elementen. Daher kann man das Axiomensystem der allgemeinen Mengenlehre bereits durch ein System von endlichen Mengen erfüllen und damit, wie der Verf. es hier tut, die Widerspruchsfreiheit der allgemeinen Mengenlehre auf die von \textit{Gentzen} (Math. Ann. 112 (1936), 493-565; F.~d.~M. 62\(_{\text{I}}\), 44) bewiesene Widerspruchsfreiheit der elementaren Zahlentheorie zurückführen. Verf. betrachtet als Mengen die natürlichen Zahlen mit Einschluß der Null und nennt \(m\) Element von \(n\), wenn \(m\) als Exponent in der dyadischen Entwicklung von \(n\) auftritt. Durch diese Interpretation werden die Axiome der allgemeinen Mengenlehre sämtlich erfüllt, sie werden also wahre zahlentheoretische Aussagen, und Verf. zeigt nun, daß die variablen Zahlenfolgen und Mengen, die man beim heuristischen Beweis dieser Tatsache verwendet, sich vermeiden lassen, und daß daher der Beweis -- wie dies notwendig ist, um den Anschluß an das \textit{Gentzen}sche Ergebnis zu gewinnen -- im Rahmen des engeren Prädikatenkalküls geführt werden kann. Der Beweis wird explizite durchgeführt.