Rings of sets. (Q2603401)

Verf. studiert Ringe von Mengen im \textit{Hausdorff}schen Sinne. Er zeigt zuerst, daß die Ringe von Untermengen einer Menge \(J\), welche die Nullmenge \(O\) enthalten, mit den verschiedenen Quasiordnungen von \(J\) oder vollständig distributiven Topologien auf \(J\) identifiziert werden können. Dabei bedeutet Quasiordnung eine reflexive und transitive binäre Relation und eine vollständig distributive Topologie eine unäre Operation \(S\to\overline S\) derart, daß \(\overline S\geqq S\), \(\overline O=O\), \(\overline{\overline S}=\overline S\) und \(\overline S=V_\alpha\overline S_\alpha\), so oft \(S=V_\alpha S_\alpha\). Dabei bedeutet \(V\) die mengentheoretische Summe. Einem \textit{Hausdorff}schen Mengenkörper entspricht eine Quasiordnung dann und nur dann, wenn sie eine Äquivalenzrelation ist, und eine Topologie nur, wenn sie eine Partition (Einteilung) von \(J\) darstellt. Verf. bespricht weiter den Idealbegriff, insbesondere die Primideale. Er beweist, daß die Anzahl der Primideale jedes endlichen distributiven Verbandes gleich der Länge jeder Kette ist, die \(O\) mit \(J\) verbindet, und worin kein neues Glied eingeschaltet werden kann. Außerdem entsprechen den distributiven Verbänden, deren Ketten dieser Art die Länge \(n\) haben, eineindeutig die teilweise geordneten Mengen von \(n\) Elementen. Auch die Anzahl der \(\frown\)- bzw. \(\smile\)-unzerlegbaren Elemente ist gleich dieser Länge \(n\). Endlich hat in jedem distributiven Verbande kein Element mehr als eine einzige unverkürzbare \(\frown\)- oder \(\smile\)-Darstellung mittels Elementen, die nicht mehr \(\frown\)- oder \(\smile\)-zerlegbar sind. Zum Schlusse macht Verf. einige Bemerkungen über gewisse Anzahlen von Ringen oder Verbänden, wie z.~B. die Anzahl \(F_1(n)\) der Mengenringe, die von \(n\) Elementen aus gebildet werden können, und auch über die Bestimmung von homomorphen Bildern und Unterverbänden. (III~5~B.)