Über ein Extremalproblem in der Determinantentheorie. (Q2603504)

Es bezeichne \(M_n\) den Maximalwert aller Determinanten \(n\)-ter Ordnung mit lauter \(\pm1\) als Elementen. Aus dem \textit{Hadamard}schen Determinantensatz folgt \(M_n\leqq n^{\tfrac{n}2}\); nach \textit{Sylvester} (Philos. Mag. 34 (1867), 461-475) gilt für \(n = 2^k\) und nach \textit{R. E. A. C. Paley} (J. Math. Physics, Massachusetts, 12 (1933), 311-320; JFM 59.0114.*) für \(n = p+1 \equiv 0\) (mod 4), \(p\) Primzahl, das Gleichheitszeichen. Daraus folgt, wie Verf. unter Berufung auf eine mündliche Mitteilung von \textit{Erdös} bemerken, \(M_n > n^{\tfrac{n}2}(1 - \varepsilon)^n\) für \(\varepsilon > 0\), \(n > n_0(\varepsilon)\). Andererseits gilt nach \textit{G. Barba} (Giorn. Mat. Battaglini 71 (1933), 70-86; F. d. F. 59\(_{\text{II}}\), 900) \(Mn < (1 + \varepsilon)\sqrt{\dfrac2e}n^{\tfrac{n}2}\) für ungerades \(n > n_1(\varepsilon)\), \(\varepsilon > 0\). Verf. betrachten das arithmetische Mittel \(S^{(k)}_n\) der \(k\)-ten Potenzen aller in Frage kommenden Determinanten und beweisen \(S^{(2)}_n = n!\), \(S^{(4)}_n = n!^2\psi(n)\), wobei \(\psi(n)\) durch die Rekursionsgleichungen \(\psi(0) = \psi(1) = 1\), \(\psi(n) = \psi(n - 1) +\dfrac2n\psi(n - 2)\) für \(n > 2\) definiert wird. Daraus ergibt sich nicht nur \(M_n\geqq\sqrt{n!}\) und sogar \(M_n>\frac14\sqrt{n\cdot n!}\) für \textit{jedes} \(n\), sondern auch, daß viele unter den fraglichen Determinanten einen großen Wert besitzen. Wegen \(M_n = \lim \root{2k}\of{S_n^{(2k)}}\) wäre eine Verallgemeinerung der obigen Formeln für beliebige \(S_n^{(2k)}\) von Interesse; Verf. gewinnen zwar eine geschlossene Darstellung von \(S_n^{(2k)}\), diese ist jedoch zu kompliziert, als daß man asymptotische Folgerungen daraus ziehen könnte.