Studies in practical mathematics. II. The evaluation of the latent roots and the latent vectors of a matrix. (Q2603512)

Zur numerischen Ermittelung der charakteristischen Wurzeln \(\lambda\) einer nicht notwendig symmetrischen Matrix \(A\) und der zugehörigen Eigenvektoren, die durch \(uA = \lambda u\) und \(Ax= \lambda x\) definiert sind, wird zunächst das Verhalten der Folge \(A^tv\) oder \((A')^tv\) für \(t= 1,\, 2,\, 3,\ldots\) mit einem willkürlichen Vektor \(v\) untersucht. Die möglichen Fälle (einfache und mehrfache Wurzeln; einfache und mehrfache Elementarteiler; reelle und komplexe Wurzeln) werden diskutiert. Für die Berechnung der charakteristischen Wurzeln allein empfiehlt es sich (besonders bei symmetrischen oder \textit{Hermite}schen Matrizen), die Folge \[ [(A')^tv]'A^tv=v'A^{2t}v \] zu bilden. Aus deren Gliedern läßt sich ferner eine \textit{Hankel}sche Determinante bilden, die die Produkte der charakteristischen Wurzeln zu je \(k\) enthält und die bequeme Berechnung des Produktes der \(k\) größten Wurzeln gestattet; das ist beim Vorkommen von Paaren komplexer Wurzeln von Bedeutung. Es folgen Umformungen zur Beschleunigung der Konvergenz und Verfahren zur Bestimmung der übrigen Wurzeln und Eigenvektoren, wenn die größte bereits berechnet vorliegt. Da sich zu einer algebraischen Gleichung stets eine Matrix angeben läßt, deren charakteristische Gleichung sie ist, sind die Verfahren auch zur Bestimmung der Wurzeln algebraischer Gleichungen geeignet. Viele durchgerechnete Zahlenbeispiele erläutern die geschilderten Verfahren.