Gewebe und Gruppen. (Topologische Fragen der Differentialgeometrie LXV.) (Q2603599)

Bei den Geweben (aus drei Scharen 1, 2, 3 von ``Geraden'') spielen die folgenden Figuren eine Rolle. Die Figur \(R\) (\textit{Reidemeister}) sieht aus wie die allgemeine Parallelprojektion eines Würfels, Figur \(S\) (Sechseck) wie ein regelmäßiges Sechseck mit den drei Hauptdiagonalen, und Figur \(T\) (\textit{Thomsen}) wie ein allgemeineres Sechseck, bei dem aber doch noch jede Hauptdiagonale zwei Seiten parallel ist. Nach Auszeichnung eines Punktes und einer Schar kann man dem Gewebe einen Bereich \(\varGamma \) mit einer beiderseits eindeutig umkehrbaren ``Multiplikation'' und mit Einselement zuordnen. Bekannt ist, daß der Bereich \(\varGamma \) eine Gruppe ist, wenn die Figur \(R\) sich immer schließt, daß er eine kommutative Gruppe ist, wenn \(T\) sich immer schließt. Über \(S\) war nichts derart bekannt. Der Verf. untersucht, welche algebraischen Eigenschaften des Bereiches sich ergeben, wenn man Voraussetzungen macht über die Schließung derjenigen Figur \(U_i\), die aus \(R\) entsteht, wenn zwei der darin vorkommenden Geraden der \(i\)-ten Schar zusammenfallen. Schließen sich die Figuren \(U_1\) bzw. \(U_2\) immer, so gelten im Bereich \(\varGamma \) die Regeln \[ a\,\bigl((bc)\,b\bigr) = \bigl((ab)\,c\bigr)\,b\;\;\;\text{bzw.}\;\;\;\bigl(b\,(cb)\bigr)\,a=b\,\bigl(c\,(ba)\bigr).\tag{1} \] Schließen sich \(U_1\) und \(U_2\), so schließt sich auch \(U_3\). Ein Bereich \(\varGamma \) mit beiden Eigenschaften (1) heißt nach \textit{R. Moufang} (Math. Ann., Berlin, 110 (1934), 416-430; JFM 60.0093.*) ``Quasigruppe''. Umgekehrt gehört zu jeder Quasigruppe ein Gewebe, in dem sich die Figuren \(U_i\) schließen. Die Punkte lassen sich als Drillinge \((b_1,b_2,b_3)\) von Elementen von \(\varGamma \) mit \(b_1b_2b_3=e\) darstellen (Klammersetzung ist gleichgültig), derart daß \(b_i=\) const. eine Gerade der Schar \(i\) ist. Ein Beispiel zeigt, daß auch eine kommutative Quasigruppe keine Gruppe (d. h. nicht assoziativ) zu sein braucht. Wechsel des zu Anfang ausgezeichneten Punktes führt zu abgeänderten Multiplikationen \[ x\,{ \bigcirc }\,y= (xg) (g^{-1} y) \] mit festem \(g\). Sind diese alle identisch oder alle kommutativ, so ist \(\varGamma \) eine Gruppe. Ein Nachtrag bringt ein Beispiel eines Gewebes, in dem sich \(U_1\) aber nicht immer \(U_2\) und \(U_3\) schließen.