Diskrete Räume. (Q2603618)

Gegenstand der Arbeit ist in erster Linie der Aufbau der Homologietheorie der diskreten Räume (vgl. unten), wobei außer einer Endlichkeitsvoraussetzung (lokale Endlichkeit, vgl. unten) keine zusätzliche Annahme gemacht wird, im Unterschied zu \textit{Tucker} (Ann. Math., Princeton, (2) 37 (1936), 92-100; JFM 62.0675.*) und \textit{Kolmogoroff} (Rec. math., Moscou, (2) 1 (1936), 97-102; JFM 62.0671.*). Dabei wird unter einem \textit{diskreten} Raum \(D\) verstanden ein topologischer Raum mit \textit{Kolmogoroff}schem Trennungsaxiom, in welchem die Summe beliebig vieler abgeschlossener Mengen abgeschlossen ist. Ferner heiße \(D\) \textit{lokal-endlich}, wenn für jeden Punkt \(p\in D\) der Durchschnitt \(H (p)\) bzw. \(S (p)\) aller, \(p\) enthaltenden abgeschlossenen bzw. offenen Mengen (die sogenannte Hülle bzw. der Stern von \(p\)) endlich ist. Man erhält einen beliebigen lokal endlichen (bzw. endlichen) diskreten Raum, wenn man in einem simplizialen (bzw. in einem endlichen simplizialen) Komplex gewisse Nebensimplexe streicht. Die diskreten Räume lassen sich also auffassen als Verallgemeinerung der gewöhnlichen simplizialen Komplexe. Ein diskreter Raum heißt \textit{multiplikativ}, wenn der Durchschnitt eines beliebigen Systems seiner \(H(p)\)-Mengen entweder leer oder selbst eine \(H(p)\)-Menge ist. -- Der Begriff des diskreten Raumes ist identisch mit dem Begriff der teilweise geordneten Menge. Als \(r\)-dimensionaler algebraischer Komplex \(f^r\) von \(D\) mit dem Koeffizientenbereich \(I\) wird erklärt eine schief-symmetrische Funktion \(f^r(p_0, p_1,\ldots, p_r)\) über der Menge aller \((r +1)\)-tupel von Punkten \(p_\varrho \) aus \(D\) als Definitions- und mit Elementen der Abelschen Gruppe \(I\) als Wertebereich, wo \(f\neq 0\) höchstens dann, wenn die \(p_0, \ldots, p_r\) einer geordneten Teilmenge von \(D\) angehören (\(D\) als teilweise geordnete Menge aufgefaßt). Als (unterer) Randoperator \(g_uf^r\) von \(f^r\) wird erklärt der \((r-1)\)-dimensionale Komplex \( \sum _{p\in D}f^r(p,p_0, \ldots, p_{r-1})\). Auf Grund dieser Komplex- und Randdefinition können in üblicher Weise die Begriffe Zyklus, Homologie, \textit{Betti}sche Gruppen erklärt werden. Ihre Motivierung finden sie durch den Begriff der \textit{baryzentrischen Unterteilung} \(D_0\) von \(D\); unter \(D_0\) versteht man dabei die (im Sinne der üblichen Beziehung des Enthaltenseins) teilweise geordnete Menge aller geordneten Teilmengen von \(D\). Ist \(D\) lokal-endlich, so ist \(D_0\) ein gewöhnlicher simplizialer Komplex, ist \(D\) sogar ein Zellenkomplex im üblichen Sinne, so führt \(D_0\) zur baryzentrischen Unterteilung im klassischen Sinne. Ferner ist die oben angedeutete Definition der \textit{Betti}schen Gruppen von \(D\) inhaltlich identisch mit der üblichen Definition der \textit{Betti}schen Gruppen für \(D_0\). -- Außer \(D_0\) werden dem \(D\) noch vier andere Komplexe zugeordnet; für multiplikative \(D\) besitzen diese fünf zugeordneten Komplexe sämtlich die gleichen Homologieeigen\-schaften. Unter Bezugnahme hierauf wird festgestellt, daß für multiplikative \(D\) die obige Homologietheorie auch gewonnen werden kann, indem man diese \(D\) als im kleinen bikompakte Räume auffaßt und auf sie dann die von \textit{Kolmogoroff} (C. R. Acad. Sci., Paris, 202 (1936), 1144-1147; JFM 62.0675.*) gegebenen allgemeinen Definitionen anwendet. Zum Schlusse wird, neben einem Überführungssatz (welcher sich auf gewisse, mit \(D\) bzw. \(D_0\) (nicht invariant) verknüpfte Punktmengen bezieht) folgendes gezeigt: Jedes Kompaktum läßt sich mittels einer \(2\varepsilon \)-Überführung in die, als Polyeder aufgefaßte, baryzentrische Unterteilung jeder seiner endlichen abgeschlossenen bzw. offenen multiplikativen \(\varepsilon \)-Überdeckungen stetig abbilden. (Als diskrete Räume treten hierbei die endlichen Überdeckungen des Kompaktums auf.)