Applications of the theory of Boolean rings to general topology. (Q2603652)

Verf. bringt seine in einer früheren Arbeit (Trans. Am. Math. Soc. 40, 37--111 (1936; JFM 62.0033.04)] entwickelte Theorie der Booleschen Ringe in Beziehung zur abstrakten mengentheoretischen Topologie. Die Menge \(\mathfrak E\) aller Primideale eines \textit{Boole}schen Ringes \(A\) läßt sich auf folgende Weise topologisieren: Jede Menge \(\mathfrak E(\mathfrak a)\) aller derjenigen Primideale von \(A\), die nicht Teiler eines beliebigen Ideals \(\mathfrak a\) aus \(A\) sind, werde als Umgebung eines jeden Elementes \(\mathfrak p\in \mathfrak E(\mathfrak a)\) definiert. \(\mathfrak E\) wird dadurch ein total zusammenhangsloser, lokal bikompakter \textit{Hausdorff}scher Raum, und die Teilmengen \(\mathfrak E(\mathfrak a)\) sind dann gerade die offenen Mengen von \(\mathfrak E\). Die bikompakten offenen Mengen von \(\mathfrak E\) bilden ein topologisch äquivalentes Umgebungssystem; sie sind als diejenigen \(\mathfrak E(\mathfrak a)\) gekennzeichnet, für die \(\mathfrak a\) ein Hauptideal aus \(A\) ist. Ist umgekehrt \(\mathfrak S\) ein total zusammenhangsloser, lokal bikompakter \textit{Hausdorff}scher Raum -- Verf. nennt solche Räume \textit{Boole}sche Räume --, so bilden die bikompakten offenen Teilmengen von \(\mathfrak S\) einen \textit{Boole}schen Ring \(A\), und der zu \(A\) gehörige Raum \(\mathfrak E\) der Primideale ist homöomorph \(\mathfrak S\). Die Theorie der \textit{Boole}schen Ringe ist also logisch äquivalent der Theorie der \textit{Boole}schen Räume. Dieser Zusammenhang zwischen Algebra und Topologie wird vom Verf. weiter verfolgt. Insbesondere beschäftigt sich Verf. mit der Konstruktion von \textit{Boole}schen Universalräumen für jede Kardinalzahl. So ist z. B. jeder separable \textit{Boole}sche Raum homöomorph einer Teilmenge des \textit{Cantor}schen Diskontinuums \(\mathfrak D\) und jeder höchstens abzählbare \textit{Boole}sche Ring somit homomorph dem durch \(\mathfrak D\) bestimmten \textit{Boole}schen Ring. Auf dieser Grundlage sucht Verf. nun Darstellungen eines beliebigen topologischen Raumes in \textit{Boole}schen Ringen zu gewinnen, um so algebraische Methoden auf Probleme der allgemeinen mengentheoretischen Topologie anwenden zu können. Das Hilfsmittel besteht in folgenden Begriffsbildungen (vgl. dazu \textit{P. Alexandroff} and \textit{H. Hopf} [Topologie I. Berlin: J. Springer (1935; JFM 61.0602.07)], insbesondere S. 66): Ein beliebiges System \(Y\) von nicht leeren abgeschlossenen Teilmengen \(\mathfrak Y\) eines \(T_1\)-Raumes \(\mathfrak S\) wird durch die Festsetzung topologisiert, daß jedes Teilsystem von \(Y\), das aus allen in einer offenen Menge von \(\mathfrak S\) enthaltenen Mengen \(\mathfrak Y\) besteht, als Umgebung eines jeden seiner Elemente anzusehen ist. \(Y\) ist dadurch als ein \(T_c\)-Raum erklärt. Ist nun \(\mathfrak R\) ein dem Raum \(Y\) homöomorpher topologischer Raum, so heißt die Beziehung zwischen \(\mathfrak R\), \(\mathfrak S\) und \(Y\) eine Darstellung von \(\mathfrak R\) in \(\mathfrak S\) vermöge \(Y\). Die Darstellung heißt irredundant, wenn jede nicht leere offene Menge von \(\mathfrak S\) wenigstens eine Menge \(\mathfrak Y\) aus \(Y\) enthält. Verf. entwickelt zunächst eine allgemeine Darstellungstheorie. Das Hauptergebnis ist: Jeder \(T_0\)-Raum \(\mathfrak R\) kann in einem geeigneten \textit{Boole}schen Raum \(\mathfrak S\) irredundant dargestellt werden. Für eine solche Darstellung gibt Verf. ein Konstruktionsverfahren an, und es folgt, daß die Darstellung durch \(\mathfrak R\) bis auf Homöomorphien bestimmt ist. In Verbindung mit dem Ergebnis des ersten Teiles der Arbeit ergibt sich also, daß die algebraische Theorie der \textit{Boole}schen Ringe der topologischen Theorie der \(T_0\)-Räume logisch äquivalent ist. Auf diese Weise ist es möglich, algebraische Methoden auf topologische Fragen anzuwenden. Die wichtigsten Anwendungen betreffen die Einbettungs- oder Erweiterungsprobleme. Hier sollen nur zwei Sätze angeführt werden, die \textit{Alexandroff} und \textit{Urysohn} vermutet haben, die aber bisher nicht bewiesen werden konnten: Jeder \textit{Hausdorff}sche Raum kann als dichte Teilmenge in einem absolut abgeschlossenen \textit{Hausdorff}schen Raum eingebettet werden. Ein \textit{Hausdorff}scher Raum ist dann und nur dann bikompakt, wenn jede seiner abgeschlossenen Teilmengen absolut abgeschlossen ist. (III 5 B.)