Memorie scelte. (Q2603731)

Von den 75 wissenschaftlichen Arbeiten des Verf. sind im vorliegenden Bande die 31 bedeutendsten wieder abgedruckt. Sie beziehen sich alle, bis auf die letzte, auf die algebraische Geometrie der Kurven und Flächen, die dem Verf. eine Fülle wesentlicher Fortschritte verdankt. Man wird nicht nur den Abdruck mancher schwer zugänglichen Arbeit begrüßen, sondern vor allem die Noten, die Verf. jeder größeren Arbeitengruppe hinzugefügt hat; sie stellen einmal die Verbindung zur späteren Forschung anderer her und geben weiterhin eine Zusammenstellung der jeweilig noch ungelösten Fragen mit Fingerzeigen, auf welchen Wegen man zur Lösung vortasten kann. In diesen Noten, die die jahrzehntelange Forschererfahrung des Verf. einschließen, liegt der große wissenschaftliche Wert des Bandes. Wir geben eine Übersicht über den Inhalt. Die ersten neun Abhandlungen sind der Geometrie auf einer algebraischen Kurve gewidmet; sie beginnen mit der Ableitung des \textit{Riemann-Roch}schen Satzes und des Restsatzes aus der projektiven Geometrie der Überräume und der Bestimmung der \(C_n\) des \(S_r\) von maximalem Geschlecht; es folgt die Berechnung der Anzahl der \(r_1 + r_2\)-punktigen Gruppen, die einer \(g_m^{r_1}\) und einer \(g_n^{r_2}\) gemeinsam sind, und der Anzahl spezieller Scharen gegebener Ordnung auf einer Kurve gegebenen Geschlechts. Eine weitere Arbeit gibt eine untere Grenze für die Dimension der kleinsten Summe gegebener Linearscharen samt einer Anwendung auf die Postulationsformeln. Eine große Abhandlung ist den eindeutigen Korrespondenzen zwischen den \(p\)-punktigen Gruppen auf einer Kurve des Geschlechts \(p\) gewidmet. Es folgt der Beweis des grundlegenden Satzes von \textit{Castelnuovo-Humbert}, daß eine irrationale Involution der Dimension \(r > 1\) auf einer Kurve entweder linear oder das \(r\)-fache einer eindimensionalen Involution ist. Die beiden nächsten umfangreichen Abhandlungen befassen sich mit den Linearsystemen ebener Kurven, die erstmalig mit den Mitteln der birationalen Kurvengeometrie behandelt werden; sie sind gekennzeichnet durch die folgerichtige Anwendung der Begriffe der charakteristischen Schar und der adjungierten Systeme. Eine Gruppe von weiteren fünf Arbeiten untersucht die Flächen des \(S_3\) mit elliptischen und hyperelliptischen Ebenenschnitten (die rational oder Regelflächen sind), weiter diejenigen mit Ebenenschnitten vom Geschlechte 3 und ihre Klassifikation und enthält schließlich den Satz von \textit{Kronecker-Castelnuovo}, demzufolge eine irreduzible Fläche mit \(\infty^2\) reduziblen Ebenenschnitten entweder Regelfläche oder die \textit{Steiner}sche Fläche ist. Wenn auch die Ergebnisse durch spätere Sätze überholt wurden, ist doch gerade diese Arbeitengruppe interessant für die geschichtliche Entwicklung unserer Kenntnisse über irreguläre Flächen. Es folgen nun die klassischen Arbeiten über die birationale Geometrie der Flächen aus der Jahrhundertwende. Sie beginnen mit den Flächen, die ein irrationales Kurvenbüschel tragen, und den ersten Beispielen irregulärer Flächen, die nicht zu Regelflächen äquivalent sind, sodann mit dem Abtasten des Zusammenhanges zwischen \(p^{(1)}\) und \(p_g\) und der Untersuchung der Flächen, für die \(p^{(1)} = 3p_g - 6\) ist. Es folgt der (heute einfacher zu gestaltende) Beweis des Fundamentalsatzes von der Rationalität der ebenen Involutionen und der ebenso wichtige Satz, daß die rationalen Flächen durch die Invarianten \(p_a = P_2 = 0\) gekennzeichnet sind, samt den ersten Beispielen für nichtrationale Flächen mit \(p_a = p_g = 0\). Gerade bei diesen Arbeiten sind die Ausblicke, die Verf. zu den entsprechenden, noch ungelösten Fragen bei \(V_3\) gibt, bedeutungsvoll. Die nächsten großen Abhandlungen decken den Zusammenhang zwischen dem Defekt der charakteristischen Schar eines linearen Kurvensystems auf einer Fläche mit deren Irregularität auf; darauf baut sich ein Beweis für den \textit{Riemann-Roch}schen Satz bei Flächen auf, den man heute meist durch eine einfachere Methode von \textit{Severi} ersetzt. Sie enthalten weiterhin die Einführung der relativen Invariante \(\omega\) von \textit{Castelnuovo-Enriques} und deren Zusammenhang mit dem Kurvengeschlecht \(p^{(1)}\), den Satz, daß die Zahl der einfachen Integrale erster Gattung auf einer Fläche gleich ihrer Irregularität ist, und ein darauf gegründetes Studium der \textit{Picard}schen Mannigfaltigkeit und schließen mit dem wichtigen Theorem ab, daß eine Fläche, für die \(p_a < -1\) ist, äquivalent einer Regelfläche ist. Zwei Abhandlungen befassen sich mit den ebenen \textit{Cremona}transformationen; die eine gibt einen Beweis für den \textit{Noether}schen Satz von ihrer Zerlegbarkeit in quadratische Transformationen; die zweite stellt fest, daß, wenn eine \textit{Cremona}abbildung einer Ebene in sich eine Kurve vom Geschlechte \(> 1\) aus Deckpunkten hat, sie entweder zyklisch oder auf eine \textit{Jonquières}-Abbildung reduzierbar ist. Es folgen zwei Arbeiten aus der Korrespondenztheorie der Kurven; die erste gibt ein auf der Zahl der Doppelpunkte beruhendes abzählendes Kriterium dafür, daß eine algebraische Schar von \(\infty^1\) Punktgruppen gänzlich einer Linearschar gleicher Ordnung angehört, die zweite untersucht die Kurven mit unendlichvielen Korrespondenzen in sich, von denen ein Index \(\alpha\) vorgegeben ist; sie sind höchstens vom Geschlechte \(\frac 12\alpha (\alpha+1)\). \ Den Beschluß bildet eine Arbeit über \textit{Abel}sche Funktionen. Die letzte Arbeit ist dem Momentenproblem und der Frage der Eindeutigkeit seiner Lösung gewidmet. Besprechungen: B. Segre, Periodico Mat. (4) 18 (1938), 129-131; Nature 142 (1938), 1016-1017.