Sur une propriété métrique de trois droites. (Q2603760)

Mit Hilfe der in der vorstehend besprochenen Arbeit entwickelten Beziehungen wird bewiesen: Schreibt man irgend drei Achsen \(d_1\), \(d_2\), \(d_3\) ein Dreieck \(M_1M_2M_3 = m_1m_2m_3\) mit beliebig orientierten Seiten ein, so ist \(\sum M_1\,M_2 \,\cos(d_1 d_2)\, \cos(d_3 m_3) = A =\) const. Sind \(d_1\) und \(d_2\) gegeben, so ist \(d_3\) ein Strahl des Komplexes mit der Gleichung \([cd_{12}\cos (d_1d_2) + n \sin (d_1d_2)]^2 = A^2 (a^2 + b^2 + c^2)\). \ \(a\), \(b\), \(c\) sind die Richtungsparameter des Strahls, \(l\), \(m\), \(n\) die drei anderen \textit{Plücker}schen Koordinaten in einem rechtwinkligen System, dessen \(z\)-Achse mit dem gemeinsamen Lot von \(d_1\), \(d_2\) zusammenfällt. \(d_{12}\) ist der algebraische Wert des kürzesten Abstandes von \(d_1\) und \(d_2\), von \(d_1\) aus gerechnet. I. Ist \(A = 0\), so ist der Komplex \(V_{12}\) der Geraden \(d_3\) linear. Sind \(d_1\) und \(d_2\) nicht parallel, so ist die Zentralachse von \(V_{12}\) ihr gemeinsames Lot und sein Parameter \(d_{12}\) ctg\(\,(d_1d_2)\). Sind \(d_1\), \(d_2\) parallel, so liegt die Zentralachse im Unendlichen in einer Normalebene zu ihrem gemeinsamen Lot. \ II. Ist \(A\neq 0\), so ist der Ort der Geraden \(d_3\), die mit zwei gegebenen Geraden \(d_1\), \(d_2\) zu einer gegebenen Konstanten \(A\) führen, ein quadratischer Komplex \(C\). \ Ist \(d_1\) parallel \(d_2\), so ist \(C\) die Gesamtheit der Parallelen zu den Erzeugenden eines Drehkegels um das gemeinsame Lot von \(d_1\), \(d_2\), dessen Öffnungswinkel \(\vartheta\) durch die Gleichung tg\(^2 \vartheta = \dfrac{d_{12}^2}{A^2} - 1\) gegeben ist. Sind \(d_1\), \(d_2\) nicht parallel, so ist \(C\) der Komplex der Geraden, die mit dem Komplex \(V_{12}\) das Moment \(\dfrac{A}{\sin\,(d_1 d_2)}\) haben.