Integralgeometrie 17. (Q2603886)

Ist \(F_1\) eine feste, \(F_2\) eine bewegliche Fläche im \(R_3\), \(\dot s\) das Bogendifferential in einem Punkte der Schnittkurve, \(B\) das entsprechende Linienelement des Schnittes, \(\dot F_2\) die kinematische Dichte von \(F_2\), \(\dot L_i\) die Dichte von \(L\) auf \(F_i\), \(\dot\sigma\) des Differentials des Winkels beider Flächen in \(L\), so gilt die Grundformel \(\dot F_2\dot s = \sin^2 \sigma\cdot\dot L_1\dot L_2\dot\sigma\). Unter der Dichte eines Linienelementes aul einer Fläche versteht man dabei das Produkt (Oberflächenelement vom Aufpunkt beschrieben) \(\times\) (Differential des Richtwinkels auf der Fläche). Aus der Grundformel werden einige wichtige Formeln der räumlichen Integralgeometrie hergeleitet. Sind \(F_1\) und \(F_2\) geschlossene Flächen, die die Gebiete \(G_1\) und \(G_2\) begrenzen, und ist \(M(G_1G_2)\) das Integral der mittleren Krümmung für die Randfläche des Durchschnittes von \(G_1\) und \(G_2\), sind \(M_1\) und \(M_2\) die entsprechenden Integrale für \(F_1\) und \(F_2\), \(A_1\) und \(A_2\) die Oberflächen von \(F_1\) und \(F_2\), \(V_1\) und \(V_2\) die umschlossenen Volumina, so gilt \[ {\textstyle\int} M(G_1G_2)\dot G_2 = 8\pi^2\left\{M_1V_2 + \frac{\pi^2}{16}A_1A_2+ V_1M_2 \right\}. \] Weiter wird die ``Kinematische Hauptformel'' bewiesen: \[ {\textstyle\int} C (G_1 G_2) \dot G_2 = 8\pi^2 \{C_1V_2 + A_1 M_2 + M_1A_2 + V_1 C2\}, \] wenn \(C\) für die Gesamtkrümmung eines Gebietes steht, und der Satz: Ist der Schnittwinkel \(\sigma\) zweier starrer Flächen \(F_1\), \(F_2\) bei jeder gegenseitigen Lage längs der Schnittlinie fest, so sind beide notwendig Kugeln oder Ebenen.