Les espaces d'éléments à connexion projective normale. (Q2603923)

Die Arbeit behandelt in erster Linie folgendes Problem (Kap. I): Es sei \(F (x, y, z, a, b, c) = 0\) das allgemeine Integral eines vollständig integrierbaren Systems von drei \textit{Pfaff}schen Gleichungen \[ dz - p\,dx - q\,dy = 0,\quad dp - \varphi\,dx - f\,dy = 0,\quad dq - f\,dx - \psi\,dy = 0, \tag{S} \] wo \(\varphi\), \(\psi\), \(f\) Funktionen der Argumente \(x\), \(y\), \(z\), \(p\), \(q\) bedeuten; es soll der Mannigfaltigkeit der Flächenelemente \((x, y, z, p, q)\) ein projektiver Zusammenhang auferlegt werden von der Eigenschaft, daß die Flächen des Komplexes \(F = 0\) die Rolle der Ebenen spielen. Zu diesem Zwecke wird mit jedem Flächenelement der Mannigfaltigkeit ein lokales projektives Bezugssystem von vier Punkten \(A\), \(A_1\), \(A_2\), \(A_3\) derart verbunden, daß \(A\) mit dem Punkte des Elementes und die Ebene \(AA_1A_2\) mit seiner Ebene zusammenfällt. Der projektive Zusammenhang zwischen zwei unendlich benachbarten Bezugssystemen wird mit Hilfe von 16 Pfaffschen \(\omega_j^i\) (\(i,\, j = 0,\, 1,\, 2,\, 3\)) definiert. Es zeigt sich nun, daß es unendlich viele solcher Zusammenhänge gibt, die die Bedingungen des Problems erfüllen, unter ihnen läßt sich aber ein vollkommen bestimmter (\textit{normaler Zusammenhang}) ausfindig machen, wenn man noch für die Krümmungsgrößen der Mannigfaltigkeit gewisse invariante Forderungen stellt. Die Komponenten \(\omega_j^i\) des normalen Zusammenhanges sind bestimmt durch die Funktionen \(\varphi\), \(\psi\), \(f\) und ihre Ableitungen bis zur vierten Ordnung. -- Kap. II wird einem interessanten Spezialfall gewidmet, wo die Komponenten \(\omega_j^i\) des normalen Zusammenhanges nur von den Punktkoordinaten \(x\), \(y\), \(z\) abhängen. Das System \((S)\) wird in diesem Falle durch den gewöhnlichen projektiven Raum geometrisiert. Es werden Bedingungen aufgestellt, die von den Funktionen \(\varphi\), \(\psi\), \(f\) erfüllt werden müssen, damit dies vorkomme. -- Im dritten Kap. wird die vorige Theorie auf den Raum von \(n\) Dimensionen verallgemeinert. Hier wird auch die Theorie des normalen, projektiven Zusammenhanges in einer \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit von Linienelementen entwickelt. -- Das IV. Kap. enthält eine Theorie der Kurven und Flächen in einer holonomen Mannigfaltigkeit von Flächenelementen \((x, y, z, p, q)\).