Über Dyadensummen. (Q2603978)

\(\varPhi=\sum\limits_{\lambda=1}^3 \mathfrak a_\lambda\mathfrak b_\lambda\) sei eine Dyadensumme des dreidimensionalen Raumes; dann wird \(\varPhi_2=\frac12\sum\limits_{\lambda=1}^3 [\mathfrak a_\lambda\mathfrak a_\mu][\mathfrak b_\lambda\mathfrak b_\mu]\) als die zweite Dyadensumme von \(\varPhi\) bezeichnet und \(\varPhi_3=(\mathfrak a_1\mathfrak a_2\mathfrak a_3)(\mathfrak b_1\mathfrak b_2\mathfrak b_3)\) gesetzt. Ferner ist \(\varPhi_c\) die zu \(\varPhi\) konjugierte Dyadensumme und \(\varPhi_s\) die erste Invariante von \(\varPhi\). Verf. beweist nun folgende Sätze: 1. Aus \(\varPhi_2=\varPhi\) folgt, daß \(\varPhi\) entweder eine Nullsumme oder eine Dyadensumme der Drehung ist. 2. Wenn für zwei beliebige Dyadensummen \(\varPhi\) und \(\varPsi\) die Gleichung \(\varPhi\cdot\varPsi=\lambda I\) (\(\lambda\neq 0\) ein Skalar, \(I=\) Idemfaktor) gilt, so ist \[ \varPhi\cdot\varPsi =\varPsi\cdot\varPhi. \] 3. Es gilt \((\varPhi_2)_2=\varPhi_3\varPhi\), \((\varPhi_2)_3=\varPhi_3^2\). 4. Wenn \(\overset{2}\land\) die doppelte vektorische Multiplikation bedeutet, gilt für jede Dyadensumme \(\varPhi\) \[ \varPhi_2\overset{2}\land\varPhi=(\varPhi_c\varPhi)_s\varPhi\varPhi\varPhi_c\varPhi. \]