Étude des spectres des équations aux dérivées partielles de la théorie des plaques élastiques. (Q2604225)

Die beiden folgenden Eigenwertprobleme \[ \varDelta\varDelta w - \lambda^2w = 0 \;\text{ und } \;\varDelta\varDelta w + \lambda\varDelta w = 0 \] mit den gleichen Randbedingungen \(w = \dfrac{\partial w}{\partial n} = 0\) am Rande \(C\) eines Bereiches \(S\) der \(x, y\)-Ebene (Eigenschwingungen und Knickprobleme einer eingespannten Platte) werden zurückgeführt auf das Problem für denselben Bereich \(S\): \[ \varDelta u + \omega u = 0, \quad u = 0 \text{ auf } C \] (Membran-Eigenschwingungen). Kennt man die vollständige Lösung dieses Problems, d. h. sämtliche Eigenfunktionen \(u_n\) mit den dazugehörigen Eigenwerten \(\omega_n\), so kann man durch ein nicht ganz einfaches Verfahren (z. B. ist die Lösung einer Folge von \textit{Dirichlet}schen Randwertproblemen nötig) die Lösungen der beiden Ausgangsprobleme gewinnen. (IV 13.)