Über die Tragfähigkeit eines längsbelasteten Plattenstreifens nach Überschreiten der Beullast. (Q2604258)

Die Berechnung der Tragfähigkeit dünnwandiger Bleche nach dem Ausbeulen ist nach der klassischen Plattentheorie nicht möglich, da deren Voraussetzung, daß die Verschiebung \(w\) senkrecht zur Plattenebene klein gegen die Plattendicke \(h\) ist, nicht mehr erfüllt ist. Die Verf. begründen mit Hilfe differentialgeometrischer Überlegungen die Theorie der Platten mit großer Ausbiegung und erweitern die üblichen Ansätze der Elastizitätstheorie dadurch, daß sie in den Ausdrücken für die Dehnungen die in den Ableitungen der Verschiebungen quadratischen Glieder nicht wie üblich fortlassen. Alle übrigen Annahmen, wie Erhaltung der Normalen, Gültigkeit des \textit{Hooke}schen Gesetzes, und den Ausdruck für die Formänderungsarbeit behalten sie bei. Unter diesen Annahmen wird die Tragfähigkeit eines unendlich langen Plattenstreifens der Breite \(b\), der unter in der Längsrichtung wirkendem Druck ausgebeult ist, untersucht. Dabei wird angenommen, daß die beiden Längsseiten momentenfrei an starren Trägern befestigt sind. Behält man dann in dem Ausdruck für die Formänderungsarbeit nur die niedrigsten Glieder in \(h\) und \(f\) bis \(hf^4\) und \(h^3f^2\) bei, so setzt sich diese Arbeit additiv aus der Dehnungsarbeit und der Biegungsenergie zusammen; dies Resultat, das meist als selbstverständlich angenommen wird, ergibt sich hier als bis zu einer gewissen Näherung richtig. Für die Durchführung der Rechnung machen Verf. nun weiter die Annahme, daß die (quadratischen) Beulen stets ihre Form \[ w = f\,\cos\dfrac{\pi x}{b}\cos\dfrac{\pi y}{b} \] behalten; dann werden nach dem Ausbeulen die Normalspannungen in ihrer Wirkungsrichtung konstant, während die Schubspannungen verschwinden. In der Mitte, wo das Blech am leichtesten nachgibt, steigt der Druck nicht über den in üblicher Weise berechneten kritischen Wert \(p^*\), während von den den Rändern benachbarten Teilen das Doppelte der mittleren Druckerhöhung aufgenommen wird. Die mittragende Breite \[ b_m = \dfrac{1}{p_{\text{max}}}\int\limits_{-\tfrac{b}{2}}^{+\tfrac{b}{2}} p\, dy = \dfrac{b}{2}\left(1 +\dfrac{p^*}{p_{\text{max}}}\right) \] wird mit zunehmendem Druck immer geringer. Der Zusammenhang zwischen Spannung und Dehnung ist auch oberhalb der Knicklast linear bei verschiebbaren Längsträgern mit einer scheinbaren Dehnungssteifigkeit, die unabhängig von \(m\) und halb so groß ist wie im eigentlich-elastischen Bereich unterhalb der kritischen Last; bei unverschiebbaren Längsträgern ist die scheinbare Dehnungssteifigkeit von \(m\) abhängig. Die Verbesserung der Ergebnisse, die die Durchführung der Rechnung mit dem erweiterten Ansatz \[ w = \cos\dfrac{\pi x}{b}\left(f_1\cos\dfrac{\pi y}{b} f_3\,\cos\dfrac{3\pi y}{b}\right) \] bringt, ist sehr gering.