En faktoruppdelning av binomet \(x^{p-1}-1 \pmod p\). (Q2604349)

Für die Primzahl \(p = 2m + 1\) bemerkt Verf., daß die beiden Faktoren \(x^m-1\) und \(x^m+1\) von \(x^{p-1}-1 \bmod p\) weiter zerlegbar sind, nämlich, wenn \(m\) ungerade ist: \[ \begin{aligned} x^m-1&\equiv \frac{1}{\sqrt{-x}}[(1+\sqrt{-x})^{m+1}-(1-\sqrt{-x})^{m+1}] \cdot [(1+\sqrt{-x})^{m+1}+(1-\sqrt{-x})^{m+1}]\\ x^m+1&\equiv [(1+\sqrt{-x})^m+(1-\sqrt{-x})^m]\cdot \frac{1}{\sqrt{-x}}[(1+\sqrt{-x})^m-(1-\sqrt{-x})^m]\cdot (1+x),\end{aligned} \] und wenn \(m\) gerade ist: \[ \begin{aligned} x^m-1&\equiv \frac{1}{\sqrt{-x}}[(1+\sqrt{-x})^m-(1-\sqrt{-x})^m]\cdot [(1+\sqrt{-x})^m+(1-\sqrt{-x})^m]\cdot (1+x)\\ x^m+1&\equiv [(1+\sqrt{-x})^{m+1}+(1-\sqrt{-x})^{m+1}]\cdot \frac{1}{\sqrt{-x}}[(1+\sqrt{-x})^{m+1}-(1-\sqrt{-x})^{m+1}].\end{aligned} \] Er bekommt hierdurch eine Einteilung der von \(-1\) verschiedenen Reste \(\bmod\;p\) in vier Klassen, nämlich eine Einteilung der quadratischen Reste in zwei Klassen \(r_{p}\) und \(r_{v}\), ebenso eine Einteilung der Nichtreste in die Klassen \(i_{p}\) und \(i_{v}\). Er studiert die Wirkung der Substitutionen \(x'\equiv \dfrac{1}{x}\) und \(x'\equiv -(x+1)\) auf diese Klassen; sie bleiben ungeändert oder gehen ineinander über. Zum Schluß zeigt er, wie man mit Hilfe dieser Klassen der Reste sehr leicht bestimmen kann, für welche Primzahlen 2 quadratischer Rest ist und für welche Nichtrest. (III 6.)