Die Theorie der Verbände, ein neuer Versuch zur Grundlegung der Algebra und der projektiven Geometrie. (Q2604401)

Zunächst werden Axiomensysteme angegeben, durch die sich die Verbände definieren lassen. Es wird über die Übertragung gruppentheoretischer Sätze, speziell des Satzes von \textit{Jordan-Holder} und idealtheoretischer Sätze auf modulare Verbände berichtet, d. h. auf solche Verbände, für die aus \(A\leqq C\) folgt \(A\smile (B \frown C) = (A \smile B) \frown C\); die Moduln eines Zahlkörpers bilden einen derartigen Verband. Als Beispiel für den Zusammenhang zwischen verbands- und idealtheoretischen Sätzen wird ein allgemeiner Satz von \textit{Ore} über modulare Verbände und ein in ihm als Spezialfall enthaltener Satz von \textit{Fitting} angegeben, nach dem zur Darstellung eines Ideals als Durchschnitt von Idealen endlich viele in gewissem Sinn irreduzible Ideale hinreichen. Es werden dann die distributiven Verbände betrachtet, das sind Spezialisierungen der modularen, für die allgemein \(A \smile (B \frown C) = (A \smile B) \frown (A \smile C)\) gilt. Diese Verbände sind nach \textit{Birkhoff} genau die, die Mengenverbänden isomorph sind. Sind sie außerdem komplementär, d. h. gibt es zu jedem \(A\) ein \(A'\) derart, daß \(A \frown A' = N\), \(A \smile A' = 0\) ist, so sind es die aus der Algebra der Logik bekannten, vielfach untersuchten \textit{Boole}schen Algebren. \textit{Stone} hat jeder \textit{Boole}schen Algebra einen Ring zugeordnet, in dem jedes Element idempotent ist und die Addition nach dem Schema der Addition mod 2 verläuft, und mit bekannten algebraischen Methoden Ergebnisse über \textit{Boole}sche Algebren erhalten. Ein modularer komplementärer Verband ist, wenn er noch die beiden Eigenschaften der Längenendlichkeit und der Irreduzibilität besitzt, das Äquivalent desjenigen Verbandes, der von den linearen Teilräumen einer allgemeinen projektiven Geometrie gebildet wird, wenn man als \(A\leqq B\) die Beziehung ``\(A\) ist Teilraum von \(B\)'' wählt; dieser Zusammenhang ist der Zugang zu Ergebnissen von \textit{Birkhoff}, \textit{v. Neumann} und \textit{Menger}. Es wird dann über die kontinuierlich-dimensionalen projektiven Geometrien von \textit{Murray} und \textit{v. Neumann} berichtet. Sodann wird die Frage, wann ein modularer Verband als Idealverband eines Ringes dargestellt werden kann, erörtert mit dem Hauptergebnis von \textit{v. Leumann}, daß von bestimmten Ausnahmen abgesehen jeder modulare und komplementäre Verband dem Linkshauptidealverband eines regulären Ringes entspricht. Zum Schluß einige Ergebnisse über endliche Verbände. (V 1.)