Residuation in structures over which a multiplication is defined. (Q2604406)

Für Verbände, in denen außer den beiden Grundoperationen eine kommutative und assoziative Multiplikation erklärt ist, wird die Auswirkung verschiedener zusätzlichen, die Multiplikation betreffenden Axiome untersucht. Von vornherein wird dabei gefordert, daß jede nicht leere Teilmenge des Verbandes einen größten gemeinsamen Teiler hat und die Multiplikation in bezug auf die Bildung des größten gemeinsamen Teilers distributiv ist. Nachdem der Ausdruck \(A{:}B\) in Analogie zum \textit{Dedekind}schen Idealquotienten erklärt ist, lautet das wichtigste Zusatzpostulat: Ist \(A\) ein Teiler von \(B\), so gibt es ein \(P\) mit \(A = B{:}P\). Es erweist sich insbesondere als hinreichend dafür, daß der Verband ``arithmetisch'' ist, d. h. daß stets \[ (A,[B,C]) = [(A,B),(A,C)] \] ist. Zugleich folgen aus jenem Postulat die Sätze \[ \begin{aligned} &M:[A,B]=(M{:}A, \;M{:}B), \tag{1} \\ &(A, \;B){:}M= (A{:}M, \;B{:}M). \end{aligned} \] Als Axiom betrachtet, ist (1) hinreichend für die Gültigkeit des Satzes \[ M[A, \;B]=[MA, \;MB], \tag{2} \] der nebenbei für sich allein bereits die Formel \[ AB = [A,\,B](A,\,B) \] ergibt. Setzt man aber voraus, daß der Verband gegenüber der Multiplikation eine ``Halbgruppe'' bildet, d. h. daß \(AB=AC\) nuf für \(B=C\) gelten kann, so folgt aus (2), also erst recht aus (1), daß der Verband arithmetisch ist.