On algebras which are connected with the semisimple continuous groups. (Q2604420)

Es wird ein Verfahren angegeben, die \(f\)-fache Produktdarstellung \(D^f\) einer Darstellung \(x\to D(x)\) einer Gruppe \(\mathfrak G\) in Matrizen mit Koeffizienten aus einem Körper mit der Charakteristik null auszureduzieren, falls \(D(\mathfrak G)\) eine lineare Gruppe, eine Komplexgruppe oder eine orthogonale Gruppe ist. Gleichwertig mit dieser Aufgabe ist die Ausreduktion der einhüllenden Algebra \(A_f\) von \(D^f\). In \S~3 und 4 wird die vollständige Reduzibilität von \(D^f\) bewiesen, d. h. daß \(A_f\) halbeinfach ist. Um \(A_f\) wirklich zu konstruieren, ist es zweckmäßig, erst die \textit{kommutierende Algebra} \(B_f\), bestehend aus allen Matrizen, die mit \(A_f\) elementweise vertauschbar sind, aufzusuchen. Da \(A_f\) halbeinfach ist, ist bekanntlich auch \(B_f\) halbeinfach und \(A_f\) ist gekennzeichnet als die kommutierende Algebra von \(B_f\). In \S~2 wird gezeigt, daß die Aufsuchung von \(B_f\) gleichwertig ist mit der Bestimmung der Invarianten, die linear und homogen abhängen von \(f\) kovarianten und \(f\) kontravarianten Vektoren, von der Gruppe \(D(\mathfrak G)\) linearer Transformationen. Nun wird in \S~5 der Fundamentalsatz der Invariantentheorie zur Konstruktion der Algebra \(B_f\) herangezogen. Für die lineare Gruppe wird ein neuer Beweis des Fundamentalsatzes gegeben. (IV 7.)