Über eine Klasse von Abelschen Gruppen. (Q2604432)

\(p\) sei eine Primzahl und \(S\) eine Menge von Primzahlen, die \(p\) nicht enthält. \(I\) sei der Ring aller rationalen Zahlen, deren Nenner nur durch Primzahlen aus \(S\) teilbar sind, und \(P\) der Ring der Zahlen \(\dfrac i{p^\alpha}\) mit \(i\subset I\). Untersucht werden \(I\)-Untermoduln eines endlichen \(P\)-Moduls. Jeder solche Untermodul hat die Gestalt \[ \mathfrak G=(Pu_1+\cdots+Pu_n)\cap(\bar Pv_1+\cdots+\bar P v_k+ \bar I v_{k+1}+\cdots+\bar I v_n). \] Hierbei bedeuten \(\bar P\) den Körper der p-adischen Zahlen und \(\bar I\) den Ring der ganzen \(p\)-adischen Zahlen, ferner ist \(v_j = \sum m_{ij}u_i\), \(m_{ij}\subset\bar P\), \(|m_{ij}|\neq 0\). \(\mathfrak G\) ist bis auf Isomorphie bestimmt durch die Zahlen \(n\), \(k\) und die Klasse der Matrix \((m_{ij})\) bei einer passenden Äquivalenzeinteilung aller \(n\)-reihigen Matrizen aus \(\bar P\). Es wird weiter die Automorphismengruppe von \(\mathfrak G\) für den Fall aufgestellt, wo \(n = 2\) und \(S\) leer ist. Schließlich wird ein vollständiges System von Invarianten angegeben für die Untermoduln eines endlichen Moduls in bezug auf den Ring der rationalen Zahlen.