An analogue of the von Staudt-Clausen theorem. (Q2604442)

Es bezeichne \(\varGamma\) das \textit{Galois}feld von \(q = p^n\) Elementen. Die Funktion \[ \psi(t)=\sum_{i=0}^\infty\frac{(-1)^i}{F_i}t^{q^i}\qquad (F_i=[i][i-1]^q\ldots[1]^{q^{i-1}},\quad [i]=x^{q^i}-x,\quad F_0=1) \] steht in enger Beziehung zur Arithmetik im Polynombereich \(\varGamma(x)\). Verf. studiert die Koeffizienten in \(\dfrac t\psi\) und beweist für diese Koeffizienten ein Analogon des \textit{von Staudt-Clausen}-Theorems. Zu diesem Zwecke wird eine zu \(n!\) in der gewöhnlichen Arithmetik analoge Funktion auf folgende Weise eingeführt: Sei \[ m=\alpha_0+\alpha_1q\cdots+\alpha_s q^s \] die Entwicklung von \(m\) zur Basis \(q\) mit dem kleinsten positiven Restsystem mod \(q\) (\(0\leqq\alpha_i<q\)). Dann wird die Funktion \[ g(m)=F_0^{\alpha_0}F_1^{\alpha_1}\ldots F_s^{\alpha_s}\qquad (g(0)=1) \] definiert und mit ihrer Hilfe \(\dfrac t\psi\) in der Gestalt \[ \frac t\psi=\sum_{m=0}^\infty\frac{B_m}{g(m)}t^m\qquad \text{(\(B_m\) rationale Funktionen von \(x\))} \] angesetzt. Die Summe enthält nur Glieder, in denen \(m\) ein Vielfaches von \(q-1\) ist. Die Analogie zwischen den Koeffizienten \(B_m\) und den gewöhnlichen \textit{Bernoulli}schen Zahlen geht aus der Beziehung \[ \frac{B_m}{g(m)}\xi^m=\sum E^{-m}\qquad \text{(\(q - 1|m\); Summation über alle Primpolynome \(E\))} \] hervor, wo \(\xi=\lim\limits_{k=\infty}[1]^{\tfrac{qk}{q-1}}([1][2]\ldots[k])^{-1}\) ist. Das Analogon des von \textit{Staudt-Clausen-}Theorems für die Koeffizienten \(B_m\) lautet: Es ist \[ B_m = G_m- \hskip 1em e\hskip-1.2em\sum_{\text{Grad}\;P=k} P^{-1}\qquad (q\neq 2), \] wo \(G_m\) Polynome bedeuten, deren Form nicht näher angegeben wird, \(e\) eine ganze zu \(p\) prime Zahl ist und die Summation über alle irreduziblen Polynome vom Grade \(k\) erstreckt wird; dabei ist \(k\) eine von \(m\) abhängige Zahl, deren Existenz wiederum auf dem Bestehen eines gewissen Systems von Bedingungen beruht. Sind diese Bedingungen nicht erfüllt, so ist \(B_m =G_m\) ein Polynom. Für \(q = 2\) muß das Resultat modifiziert werden. Die Beweisideen gehen auf \textit{Hurwitz} zurück (Math. Ann. 51 (1898), 196-226; F. d. M. 29, 385 (JFM 29.0385.*)). Die Schwierigkeiten der Beweise sind formaler Natur.