The Tarry-Escott problem. (Q2604494)

Als \textit{Tarry-Escott}-Problem wird die Aufgabe bezeichnet, zwei Systeme ganzer rationaler Zahlen zu finden, deren erste \(k\) Potenzsummen übereinstimmen. Die Verf. geben eine ausführliche Darstellung der bisher erzielten Ergebnisse, indem sie sich für die ältere Literatur auf \textit{L. E. Dickson}, History of the theory of numbers, Bd. 2 (1920), 705-713 (F. d. M. 47, 100 (JFM 47.0100.*)-104) beziehen und an neueren Untersuchungen Arbeiten von \textit{A. Moessner, W. Schulz} (Math. Z. 41 (1936), 633-635; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 131) sowie \textit{E. M. Wright} (Quart. J. Math. (Oxford series) 6 (1935), 261-267; F. d. M. \(61_{\text{II}}\), 1063) erwähnen. Es werden auch einige neue Sätze über Zahlensysteme mit gleicher Summe und Quadratsumme von \textit{O. E. Brown} angegeben. Noch nicht berücksichtigt sind in dem Bericht der Verf. die Arbeiten von \textit{E. M. Wright} (Quart. J. Math. (Oxford series) 7 (1936), 43-45; 8 (1937), 48-50; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 133; \(63_{\text{I}}\), 114) und \textit{J. L. Burchnall, T. W. Chaundy} (Quart. J. Math. (Oxford series) 8 (1937), 119-130; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 114). Das \textit{Tarry-Escott}-Problem ist für eine Reihe von Anwendungen von Bedeutung. So ist die Frage nach der Reduzibilität von Polynomen der Form \[ f(x) = a(x- x_1) (x - x_2)\dots (x- x_n) \pm p \] (\(n = 2m \geqq 8\); \(x_1, x_2, \dots, x_n\) voneinander verschiedene ganze Zahlen; \(p\) Primzahl) im Körper der rationalen Zahlen gleichbedeutend damit, die Zahlen \(x_1, x_2, \dots, x_n\) in zwei Systeme von je \(m\) Zahlen einzuteilen, deren erste \(m - 1\) Potenzsummen übereinstimmen (\textit{H. L. Dorwart}, Duke math. J. 1 (1935), 70-73; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 81; \textit{W.Schulz}, Schr. math. Sem. Inst. angew. Math. Univ. Berlin 3 (1937), 117-154; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 45). Als eine weitere Anwendungsmöglichkeit des vorliegenden Problems sei hervorgehoben, daß man mit ihm schnell konvergierende Reihen zur Berechnung von Logarithmen auf viele Stellen erhalten kann (\textit{E. B. Escott}, Quart. J. Math., London, 41 (1910), 141-167; F. d. M. 41, 496 (JFM 41.0496.*)-497).