The representation of a definite quadratic form as a sum of two others. (Q2604503)

Eine ganzzahlige positiv-definite quadratische Form in \(n\) Veränderlichen ist im Falle \(n \leqq 5\) stets die Summe zweier ganzzahligen Formen, von denen jede positiv-definit oder positiv-semidefinit, insbesondere nicht identisch null ist. Im Falle \(n > 5\) gilt dasselbe, wenn die Determinante \(A\) der gegebenen Form größer oder gleich einer nur von \(n\) abhängigen Zahl \(\lambda_n\) ist; insbesondere kann man \(\lambda_n = \left( \dfrac 43 \right) ^{\tfrac {n(n-1)}2}\) setzen. Enthält dabei der eine Summand höchstens fünf Veränderliche, so kann er sogar als Quadrat gewählt werden. Schon für \(n = 6\) gibt es eine Form (mit \(A = 3 < \lambda_6\)), die keine solche Zerlegung zuläßt, nämlich \(\sum\limits_{r=1}^6 x_r^2 + \left(\sum\limits_{r=1}^6 x_r \right)^2 - 2 x_1 x_2 - 2 x_2 x_6\).