New estimations of trigonometrical sums containing primes. (Q2604525)

Verf. kündigt neue wichtige Abschätzungen an für Summen der Gestalt \[ S = \sum_{p \leqq N} e^{2\pi i m f(p)}, \] wo \(m\) ganz, \(f(p)\) ein Polynom ist und \(p\) sämtliche Primzahlen \(\leqq N\) durchläuft. Er gibt (ohne Beweise) folgende Resultate: 1) Es sei, mit ganzen \(a\), \(q\), \(N\), \(m\): \[ \alpha = \frac aq + \frac{\theta}{q^2}, \quad (a, q) = 1, \quad |\theta| \leqq 1, \quad \alpha \, \text{ reell}, \tag{1} \] \[ 0 < q \leqq N, \quad Q = \min \left(q, \frac Nq\right), \quad 0 < m \leqq Q^{\frac 13}. \] Für \(f(p) = \alpha p\) ist dann \[ |S| \leqq cN Q^{-\frac 16 + \varepsilon} \log \, N, \] wo \(c\) eine Konstante ist und \(\varepsilon\) beliebig \(> 0\). Für \(m = 1\) gilt dies sogar mit \(\frac 14\) statt \(\frac 16\). 2) Für ein beliebiges Polynom (\(k\) ganz \(> 1\)) \[ f(p) = \alpha p^k + \alpha_1 p^{k-1} + \cdots + \alpha_k \] mit reellen Koeffizienten gibt es unter den Bedingungen (1) und \[ 0 < q \leqq N^k, \quad Q = \min \left(q, \frac{N^k}{q}\right) \] eine nur von \(k\) abhängige positive Zahl \(\sigma\), derart, daß für \(0 < m < Q^{2\sigma}\) gilt: \[ |S| \leqq cNQ^{-\sigma}, \] wo \(c\) eine Konstante ist. 3) Die obigen Resultate liefern auch neue Abschätzungen für die Gleichverteilung von Zahlenfolgen \(\{f(p)\}\) modulo 1, falls \(p\) sämtliche Primzahlen durchläuft.