Eine neue Methode in der analytischen Zahlentheorie. (Q2604528)

Dieser Bericht bringt mit ausführlichen Beweisen unter Zusammenfassung früherer Ergebnisse folgende scharfen Sätze: Für die \textit{Weyl}schen Summen \[ S= \sum_{x=1}^P e^{2\pi i f(x)}; \quad f(x)=a_0x^n + \cdots + a_n \] mit reellen \(a_i\), \(a_0 = \dfrac aq+ \dfrac \theta{q^2}\); \((a,q)=1\), gilt \[ |S| \leqq P\gamma \quad \text{mit} \quad \gamma = c(n)q^{-2/r}; \quad r = n^3(\log n + 2,5 \log \log n), \] wenn \(P\geqq q\) und \(n \geqq 14\); sonst mit schwächerem \(\gamma\) \[ (= c' q^{\varepsilon-\varrho}; \quad \varrho =1:2^{n-1}; \quad c'=c(n,\varepsilon) \quad \text{für kleineres} \;n). \] Dies liefert, daß die Anzahl der Argumente \(x\) von 1 bis \(P\), für die die echten Bruchteile von \(f(x)\) unter \(\delta\) liegen, \(= P\delta + P\gamma \alpha\) ist, mit gegen \(\delta\) beschränktem \(\alpha\) und \(\gamma\) wie oben. Für das \textit{Waring}sche Problem gewinnt man im Zusammenhang mit der \textit{Hardy-Littlewood}schen Abschätzung (Quart. J. Math., London, 48 (1919), 272-293; F. d. M. 45, 114 (JFM 45.0114.*)) für die Anzahl der Darstellungen von \(N\) in der Form \(x_1^n + \cdots + x_r^n\), daß für großes \(N\) wenigstens eine Darstellung mit \(r \geqq G(n)\) existiert, wenn \(G(n)=(n-2)2^{n-1}+5\). Hier wird nun gezeigt, daß \[ G(n) < 6n(\log n+1) \quad \text{für} \;n \geqq 16 \] reicht, niemals aber schon \(G(n) = n\). Schließlich wird gezeigt, daß jede große ungerade Zahl als Summe von drei Primzahlen darstellbar ist.