On the representation of integers as the sums of the \(k^{\text{th}}\) powers of primes. (Q2604533)

Verf. behauptet (ohne Beweis): Es sei \(k\) ganz \(\geqq 20\), \[ \begin{gathered} a=\frac 1k, \quad b=18k^3\log k, \quad m = \left[\frac{\log \frac 12 b+ \log(1-2a)}{\log\left(1+\dfrac 1{k-1}\right)}\right]= 3k \log k +k\log\log k + O(k), \\ c= [\frac 12b(k-2)(1 - a)^{m+1}], \quad t=\max(c,4k). \end{gathered} \] Für jede Primzahl \(p\) sei \(p^\theta\) die höchste in \(k\) aufgehende Potenz von \(p\), und \(\gamma = \theta + 2\) oder \(\gamma=\theta+1\), je nachdem \(p = 2\) (und \(k\) gerade) oder \(p\) ungerade ist. Weiter sei \[ K = \prod_{(p-1)|k}p\gamma. \] Falls dann \[ s \geqq 2t + 2m + 7, \quad N \equiv s \pmod K, \] und \(N\) genügend groß ist, so ist \(N\) darstellbar als eine Summe von \(s\) \(k\)-ten Potenzen von Primzahlen.